太原市数学中考第八章不等式与不等式组知识点聚焦

第八章不等式与不等式组
考情分析
高频考点
考查频率
所占分值
1.不等式的性质
2.一元一次不等式的解法
3.一元一次不等式的特殊解
4.一元一次不等式的应用
5.由实际问题抽象出一元一次不等式
6.解一元一次不等式组
7.一元一次不等式组的特殊解
8.在数轴上表示不等式（组）的解集
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3～10分
知能图谱
第17讲一元一次不等式
知识能力解读
知能解读（一）不等式的有关概念
1不等式的定义
用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式.
注意
（1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系.
（2）常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等.
2不等式的解、解集
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.
不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等
式的所有的解，组成这个不等式的解集.
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现.
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
注意
（1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值,故不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.
（2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图.
3解不等式
求不等式的解集的过程叫作解不等式.
知能读解（二）不等式的性质
性质
文字语言
数学语言
性质1
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
如果，那么
性质2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
如果，，那么（或）
性质3
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
如果，，那么（或）
点拨
（1）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变.
（2）不等式性质的拓展：
①对称性：如果，那么.
②传递性：如果，那么.
③同向相加性：如果，，那么.
知能解读（三）一元一次不等式的概念
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.如“”或“”，其中是未知数，是已知数，并且.
或是一元一次不等式的标准形式.
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式.
注意
一元一次不等式的四点标准：（1）是不等式；（2）只含有一个未知数；（3）不等号两边的代数式；(4)未知数的最高次数是1.
知能解读（四）一元一次不等式的解法
一元一次方程的解法与一元一次不等式的解法既有联系又有区别，具体如下表：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
知能解读（五）列一元一次不等式解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤类似，即
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为:
.
方法技巧归纳
方法技巧（一）用不等式表示数量间的不等关系
首先列出有关的代数式，其中把所列的代数式用不等号连接.关键是把题中的文字语言正确转化为数学语言.
点拨
列不等式时，先用代数式表示其中的相关量，再把关键词找出来，用不等号表示不等关系.
方法技巧（二）不等式的性质的应用
根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.
方法技巧（三）一元一次不等式的解法
解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，注意在利用不等式的性质3对不等式进行变形时，要改变不等号的方向.解一元一次不等式各个步骤的根据、做法、注意事项如下：
(1)去分母：根据不等式的性质2、3.
做法：不等式两边同乘各分母的最小公倍数.
注意
（1）不要漏乘不含分母的项.
（2）分子是一个代数式时，分数线有括号的作用，去分母后，应作为一个整体加上括号.
（3）不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向改变
（2）去括号：根据去括号法则、乘法分配率.
注意
（1）一个数乘多项式时，不要漏乘括号里的任一项.
（2）不要出现符号的错误.
（3）移项：根据移项法则.
做法：把含有未知数的移项到不等式的一边，其他移项都移到不等式的另一边.
注意
移项时该项要变号，不要漏项.
（4）合并同类项：根据合并同类项法则.
做法：系数相加，字母和字母的指数不变，把不等式化成或的形式.
（5）系数化为1：根据不等式的性质2、3.
做法：不等式两边同除以未知数的系数.
注意
（1）不要把分子、分母搞颠倒.
（2）不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.
点拨
在利用不等式的性质3时，注意不等号的方向要改变.
点拨
因为的系数不确定，所以要分情况讨论，体现了分类讨论思想.
方法技巧（四）一元一次不等式的应用
1求不等式特殊解的方法
此类题目把不等式的知识与其他知识综合到一起进行考查，综合性强、难度大，一般应先根据题意列出符合条件的不等式，再去求解集，然后根据题目条件找出相应的解.
点拨
首先应根据题中所给的不等关系，列出能够反映本题意义的不等式，要注意“不小于”“不大于”“大于”“小于”等关键性词语，然后再解不等式，并找出符合“非负整数”条件的.注意可借助数轴直观找出适合的解，以防重解或漏解.
2根据不等式解集的情况，确定不等式中某个参数的范围
点拨
解决本题的关键是解一元一次不等式和利用数形结合思想分析题意.
方法技巧（五）列一元一次不等式解应用题的技巧
应用一元一次不等式解决实际问题，需要认真审题，准确把握问题中的数量关系，尤其是不等关系，更要抓住题目中的关键词，设出未知数，列出不等式，从而解决问题.
点拨
本题是一元一次不等式与二元一次方程组的综合应用，根据题意找出等量关系与不等关系是解题的关键.
易混易错辨析
易混易错知识
1.应用不等式的性质时出错.
根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向应改变，而在解题中易忽略这一点.
2.混淆非负整数解与正整数解，导致出错.
在求不等式的特殊解时，对“非负整数解”概念理解不清，易忘掉0.
易混易错(一)不等式两边同乘一个字母时没有分类讨论
易混易错(二)求不等式的特殊解时易丢掉某些解
易混易错(三)解不等式去分母时易漏乘不含分母的项
易混易错(四)应用不等式的性质3时容易出错
易混易错(五)应用不等式的特殊解求某个字母的取值范围时出错
中考试题研究
中考命题规律
本讲主要考点有不等式的性质、一元一次不等式的解法、求不等式的特殊解及与实际生活密切联系的不等式应用题，题型有选择题、填空题、解答题，近几年，决策类及与函数等知识相联系的应用题备受关注.
中考试题（一）解不等式
点拨
去分母时，注意不含分母的项也要乘各分母的最小公倍数，系数化为1时，注意不等号方向的变化.
中考试题（二）运用不等式的性质对不等式进行变形
中考试题（三）不等式和分式的综合
点拨
本题选取的的值既要使化简后的分式有意义，又要使原分式有意义，即原分式的分母不能为0,化简后分式的分母也不能为0.
中考试题（四）不等式中的新定义运算
中考试题（五）利用不等式解决实际问题
第18讲
一元一次不等式组
知能解读（一）一元一次不等式组的概念
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组.
注意
判断一个不等式组是一元一次不等式组可根据下列两个条件：（1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式且未知数相同；（2)不等式组中不等式至少是2个，也就是说可以是2个、3个、4个或过个.例如就不是一元一次不等式组，因为不等式组中未知数的个数为2.
知能解读（二）一元一次不等式组的解集
1概念
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解.
注意
公共部分是指数轴上两个(多个)不等式解集的区域都覆盖住的部分.
2解集的确定方法(共四种情况）
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.为了解题方便，可采用数轴法和口诀法，数轴法直观明了，口诀法易记易用.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可划分为以下四种情形：
不等式组
数轴表示
解集
口诀（规律）
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小解没了
3几种特殊不等式（组）的解集
（1）关于的不等式组的解集为；
（2）关于的不等式组无解；
（3）关于的不等式的解集为全体实数，关于的不等式无解；
（4）不等式（或）的解集为全体实数，不等式（或）无解.
知能解读（三）一元一次不等式组的解法
解不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
知能解读(四）列一元一次不等式组解决实际问题
利用不等式组解决问题的方法、步骤与列二元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等关系，并且解不等式所得结果通常为一个解集，需要从解集中找出符合条件的答案，即审、设、列、解、答.
方法技巧归纳
方法技巧（一）不等式组解集的确定方法
一元一次不等式组解集的确定主要是借助数轴直观找到，共分四种情况，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解没了”，对于口诀，不要死记硬背，要在理解的基础上加以运用.
注意
注意看图要细致，弄清标注的位置上是空心圆圈还是实心圆点，同时还要看清方向，是向右
画还是向左画.
解不等式组时，借助数轴确定解集更加直观、明了.
方法技巧（二）不等式组的求解方法
分二步：先求出各个不等式的解集，再利用数轴找出这些解集的公共部分，就是这个不等式组的解集.
注意
在数轴上找解集的公共部分是指数轴上被两个不等式解集的区域都盖住的部分，若无公共部分，则说这个不等式组无解.
方法技巧（三)确定不等式组中待定系数的取值范围
如果已知不等式组的解集，可根据规律“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解没了”的逆用，确定待定系数的取值情况.
例如若不等式组的解集为，则由“同大取大”知.再如若不等式组的解集为，则可知，此类问题是中考热点，下列举例参考.
注意
本题中易忽略相等的情况，注意题目中的临界点.
点拨
确定不等式组中某一个字母的取值范围问题，往往借助数轴，使问题直观易解.
方法技巧（四）含字母系数的不等式组的解法技巧
点拨
在解含有字母系数的不等式组时，注意对字母系数分类讨论，以免漏解.
易混易错辨析
易混易错知识
1.确定不等式组的解集时有误.
部分同学能熟练求出一元一次不等式的解集，但不会找两个不等式解集的公共部分，从而导致求错不等式组的解集.如：的解集误写成，实际上是无解.
2.求不等式组的某些特殊解时对界点的合理性理解不透导致出错.
易混易错（一）求不等式组中字母的取值范围时易丢掉某些解
易混易错（二）将解二元一次方程组的解法错用在解一元一次不等式组上
中考试题研究
中考命题规律
本讲的主要考点有一元一次不等式组的解法、求不等式组的特殊解，题型有选择题、填空题、解答题，同时加大了对数形结合思想和分类讨论思想的考查力度.
中考试题（一）解不等式组
中考试题（二）对解集概念的理解
中考试题（三）不等式组的创新和综合应用
注意
根据的取值情况确定不等式组的解集，体现了分类讨论思想.
中考试题（四）列不等式组解决实际问题