太原市数学中考《第十一章函数基础知识、一次函数及反比例函数》知识点聚焦

专题四
图形与坐标、函数及图象
第十一章函数基础知识、一次函数及反比例函数
考勤分析
高频考点
考查频率
所占分值
1.点的坐标特点2.函数自变量的取值范围3.由函数图象获取信息4.一次函数的图象与性质5.待定系数法求一次函数解析式6.一次函数与方程、不等式之间的关系7.反比例函数的图象与性质8.反比例函数中比例系数的几何意义9.反比例函数与一次函数的综合10.反比例函数的应用
★★★★★★★★★★★★★★★★★
7~10分
知能图谱
第23讲
函数基础知识
知识能力解读
知能解读(一)有序数对
我们把有顺序的两个数与组成的数对，叫作有序数对，记作.
注意
对“有序”要理解准确，即两个数的位置不能随意交换，与中字母顺序不同，含义就不同，表示的位置也就不同.
知能解读(二)平面直角坐标系
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(1)如图所示，在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴或轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为纵轴或轴，取向上方向为正方向.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
(2)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面
( http: / / www.21cnjy.com )就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分称为象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图1-23-1所示.
注意
(1)两条坐标轴上的点不属于任何一个象限.
(2)如果平面直角坐标系具有实际意义，那么要在表示横轴、纵轴的字母后附上单位.
知能解读(三)点的坐标
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如图所示，在平面直角坐标系中，从点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为点和点.这时，点在轴上对应的数为3，称为点的横坐标；点在轴上对应的数为2，称为点的纵坐标，依次写出点的横坐标和纵坐标得到一对有序实数对，该有序实数对称为点的坐标，这时点可记作.
注意
(1)在建立了平面直角坐标系后，平面内的点
( http: / / www.21cnjy.com )便可与有序实数对—对应.也就是说，对于坐标平面内的一个点，总能找到一个有序实数对与之对应；反之，对于任意一个有序实数对，总可以在坐标平面内找出一个点与之对应.
(2)在表示点的坐标时，横坐标应写在纵坐标的前面，中间用逗号隔开，横、纵坐标的顺序不能颠倒，如与是两个不同点的坐标.
知能解读(四)不同位置的点的坐标特征
1各象限内点的坐标的符号特征
坐标象限
横坐标
纵坐标
第一象限
+
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
2坐标轴上点的坐标特征
(1)点在轴上，则点的纵坐标为0，横坐标为任意实数；
(2)点在轴上，则点的横坐标为0，纵坐标为任意实数.
3象限角的平分线上的点的坐标特征
设为象限角的平分线上一点，则当点在第一、三象限角平分线上时，；当点在第二、四象限角平分线上时，.
4与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
平行于轴的直线上的各点的纵坐标相同；平行于轴的直线上的各点的横坐标相同.
5关于轴，轴、原点对称的点的坐标特征
一般地，若点与点关于轴(横轴)对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；若点与点关于轴(纵轴)对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；若点与点关于原点对称，则横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”.
知能解读(五)平面直角坐标系内的点到轴、轴、原点的距离(拓展)
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如图所示，(1)点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为；(2)同一坐标轴上的两点之间的距离为；(3)在不同坐标轴上的两点之间的距离为
.
知能解读(六)函数的相关概念
1变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
注意
常量与变量不是绝对的，而是对“某一变化过程”而言的，同一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中可能是变量.如在汽车：行驶的过程中，有路程、行驶时间、速度三个量，当速度—定时，路程与时间是变量，速度是常量；当汽车行驶的时间一定时，路程与速度是变量，时间为常量；当路程—定时，速度与时间是变量，路程为常量.
2自变量与函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.
注意
函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下两点：
(1)只能有两个变量；(2)对于自变量的每一个确定的值，都有唯一的函数值与之对应.
知能解读(七)函数的解析式
像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
知能解读(八)函数自变量的取值范围及函数值
函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变
( http: / / www.21cnjy.com )量的取值的全体.求自变量的取值范围通常从两个方面考虑:一是要使函数的解析式有意义；二是要符合客观实际.下面给出一些简单函数解析式中自变量取值范围的确定方法：
(1)当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数(即全体实数)；
(2)当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数；
(3)当函数的解析式是二次根式时，自变量取值是使被开方式为非负数；
(4)当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幕的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数
对于自变量在取值范围内的每一个值，如当时，函数有唯一确定的值与之对应，这个值就是当时的函数值.
知能解读(九)函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表——在表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点；
第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知能解读(十)函数的表示方法
写函数解析式、列表格、画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法.
表示方法
优点
缺点
总结
解析式法
简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系
不直观，有些函数关系不一定能用解析式法表示出来
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为解决问题，需要同时使用几种方法
列表法
一目了然，使用方便
对应值不限，不易看出自变量与函数的对应规律
图象法
形象直观，能明显表示变化趋势
不易看出自变量和函数的对应值
方法技巧归纳
方法技巧(一)利用平面直角坐标系相关知识解决问题的方法
1由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置
根据平面直角坐标系内点的坐标与点的位置的关系，我们可以根据点的坐标确定点的位置，反过来，也可以根据点的位置确定点的坐标.
2建立适当的平面直角坐标系，解决数学问题
根据已知条件，建立适当的平
( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，在建立平面直角坐标系时，我们一般以图形的某边所在直线为坐标轴，或使图形的顶点大部分在坐标轴上.
方法技巧(二)求函数自变量的取值范围的方法
函数自变量的取值范围首先要使函数解析式有意义，当函数解析式表示实际问题或几何问题时，自变量的取值范围还必须符合实际意义或几何意义.
方法技巧(三)列函数解析式(建立函数模型)的方法
1求几何图形问题中的函数解析式
2求实际问题中的函数解析式
方法技巧(四)用图象法表示函数关系的方法
1实际问题的函数图象
2动点问题的函数图象
易混易错辨析
易混易错知识
1.由点到坐标轴的距离确定点的坐标时，因考虑不周而出错.
由点求坐标时，容易将横、纵坐标的位置弄错，还容易忽略坐标的符号而出现漏解的情况，如点到轴的距离是4，到轴的距离是3，此时点的坐标不只是一种情况，求解时考虑问题要全面.
2.由实际问题的函数解析式画图象时，易忽视自变量的取值范围而导致图象错误.
实际问题中自变量的取值范围大部分都是非负数，画图象时应加以注意.
易混易错(一)求自变量的取值范围时，因考虑不周而出错
易混易错(二)由点到坐标轴的距离求点的坐标时出错
中考试题研究
中考命题规律
函数自变量的取值范围、函数的图象及平面
( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系的应用、确定物体位置的方法是近几年中考的常见考点.特别是根据提供的图象解决实际问题的一类信息题因具有时代气息、贴近生活，是中考热点之一.题型有选择题、填空题和解答题.
中考试题(一)确定点的位置
中考试题(二)确定点的坐标
中考试题(三)利用函数自变量的取值范围解决问题
中考试题(四)根据情景描述函数图象
中考试题(五)由函数图象获取信息
第24讲
一次函数
知识能力解读
知能解读(一)正比例函数和一次函数的概念
(1)正比例函数:一般地，形如(是常数，)的函数，叫作正比例函数，其中叫作比例系数.
(2)一次函数:一般地，形如(是常数，)的函数，叫作一次函数.当时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注意
(1)一次函数的表达式是一个等式，其左边是因变量，右边是关于自变量的整式.
(2)自变量的次数为1，且系数不等于0.
(3)自变量的取值范围：一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数.
知能解读(二)正比例函数和一次函数的图象
(1)一般地，正比例函数(是常数,
)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线，当时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.一般地，过原点和点(是常数，)的直线，即正比例函数的图象.
(2)一次函数(是常数，)的图象可以由直线平移个单位长度得到(当时，向上平移；当时，向下平移).一次函数(是常数，)的图象也是一条直线，我们称它为直线.
—次函数具有如下性质:当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
点拨
为了方便，我们通常利用一次函数的图象与坐标轴的交点和来画图象.
知能解读(三)对一次函数中的系数的理解(拓展点)
(1)直线中表示直线向上的方向与轴正方向夹角的大小程度，即直线的倾斜程度，是直线与轴交点的纵坐标.当时，直线与轴交于正半轴；当时，直线过原点；当时，直线与轴交于负半轴.如下表：
的符号
函数图象
图象的位置
性质
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图象过第一、二、三象限
随的增大而增大
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图象过第一、三象限
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图象过第一、三、四象限
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图象过第一、二、四象限
随的增大而减小
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图象过第二、四象限
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图象过第二、三、四象限
(2)两直线与的位置关系：
①当时，两直线平行；
②当时，两直线重合；
③当时，两直线交于轴上一点；
④(供参考)当时，两直线垂直.
知能解读(四)待定系数法
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
(1)设出含有待定系数的函数解析式(为常数，)；
(2)把已知条件(自变量与对应的函数值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；
(3)解方程，求出待定系数；
(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即得出所求的函数解析式.
知能解读(五)一次函数与方程(组)、不等式之间的关系
1一次函数与一元一次方程
一般地，因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以解一元一次方程相当于求与之对应的一次函数的函数值为0时，自变量的值.
点拨
求直线与轴的交点，可令得方程，解方程得是直线与轴交点的横坐标.反之，由函数的图象也能求出与之对应的一元一次方程的解.
2一次函数与二元一次方程(组)
一般地因为每个含有未知数和的二元一次方程，都可以变为（是常数，）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标都是这个二元一次方程的解.
由上可知，由含有未知数和的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
3—次函数与一元一次不等式
一般地，因为任何一个以为未知数的一元一次，不等式都可以变为或的形式，所以解一元一次不等式相当于求与之对应的一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.
注意
通常我们可用解方程组的方法求两直线
( http: / / www.21cnjy.com )的交点坐标，也可以通过画图象，利用两直线的交点坐标得出方程组的解，即:既可以用“数”的方法解决；“形”的问题，也可以用“形的方蜂解决“数”的问题，这种方法上的互通性体现了数形结合的思想.
方法技巧归纳
方法技巧(一)一次函数的判别方法
一次函数的判别依据有如下三点：(1
( http: / / www.21cnjy.com ))关于自变量的表达式是整式；(2)自变量的次数是1；(3)自变量的系数不为零.特别地，当常数项为零时，是正比例函数.
方法技巧(二)一次函数图象位置的确定方法
的符号决定直线的倾斜方向：当时，直线自左向右上升；当是时，直线自左向右下降.
的符号决定直线与轴的交点位置：当时，直线与轴交于正半轴；当时，直线过原点；当时，直线与轴交于负半轴.
方法技巧(三)利用一次函数的性质解决问题的方法
一次函数的性质主要是指函数的增减性，即随的变化情况，它只和的符号有关，与的符号无关.若，则随的增大而增大；若，则随的增大而减小，反之，若随的增大而增大，则；若随的增大而减小，则.
方法技巧(四)用待定系数法求一次函数解析式的方法
由于一次函数的解析式中有和两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以和为未知数)，解方程组后便可求得这个一次函数的解析式.
方法技巧(五)利用一次函数求方程(组)的解、不等式(组)的解或解集的方法
一次函数的图象与方程(组)、不等式(组)有着密切的联系：
(1)关于的一元一次方程的解是直线与轴交点的横坐标.
(2)关于的一元一次不等式的解集是以直线和轴的交点为分界点，轴上(下)方的图象所对应的值的集合.
(3)关于的二元一次方程组的解是直线和的交点坐标.
方法技巧(六)用一次函数解决实际问题的方法
在研究一个实际问题时，应首先从问题中抽象出特
( http: / / www.21cnjy.com )定的函数关系，将其转化为“函数模型”，然后再利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果.
易混易错辨析
易混易错知识
正比例函数和一次函数的区别.
正比例函数是一种特殊的一次
( http: / / www.21cnjy.com )函数，一次函数包括正比例函数.也就是说，如果一个函数是正比例函数，那么它一定是一次函数.但是，如果一个函数是一次函数，那么它不一定是正比例函数.
易混易错(一)因忽视隐含条性而致错
易混易错(二)因考虑问题不全面而致错
易混易错(三)因对图象表示的实际意义理解错误而致错
中考试题研究
中考命题规律
一次函数解析式的确定，一
( http: / / www.21cnjy.com )次函数的图象与性质，一次函数与方程、不等式的联系，以及运用一次函数的知识解决实际问题都是近年来中考的热点内容，特别是根据提供的图象解决有关的实际问题更是中考的热点.题型有选择题、填空题、解答题.
中考试题(一)对一次函数的图象和性质的理解
中考试题(二)用待定系数法求函数解析式
中考试题(三)一次函数与方程(组)、不等式的关系
中考试题(四)利用一次函数解决实际问题
中考试题(五)利用图象获取信息
第25讲
反比例函数
知识能力解读
知能解读(一)反比例函数的定义
一般地，形如(是常数，)的函数叫作反比例函数，其中叫作比例系数.
注意
(1)反比例函数的左边是函数，右边是分母为自变量的分式.也就是说，分母不能是多项式，只能是的一次单项式.如等都是关于的反比例函数，但就不是关于的反比例函数.
(2)反比例函数可以写成或的形式.
(3)反比例函数中，两个变量成反比例关系.
(4)反比例函数的自变量是不等于0的任意实数.
知能解读(二)反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线.
注意
(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支是断开的.
(2)当时，两个分支分别位于第一、三象限；当时，两个分支分别位于第二、四象限.
(3)反比例函数的图象的两个分支关于原点对称.
(4)反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即图象的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为.
知能解读(三)反比例函数的性质
反比例函数的性质如下表所示：
反比例函数
的符号
图象
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性质
当时，函数的图象分别在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内随的增大而减小
当时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，随的增大而增大
注意
(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数的符号决定的，反过来，由双曲：线所在的位置或函数的增减性也可以判断出的符号.
(2)反比例函数的增减性只能在其图象所在的某个象限内讨论.不能说当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.)
知能解读(四)反比例函数解析式的确定
因为在反比例函数的解析式中，只有一个系数，所以确定了的值，也就确定了反比例函数，因此只需利用一组的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式.
知能解读(五)反比例函数中比例系数的几何意义
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反比例函数中比例系数的几何意义：如图所示，过双曲线上任一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积均为.同时，的面积均为.
注意
(1)应用反比例函数
(为常数，)中的几何意义，可把反比例函数与直角三角形、矩形联系在一起_
(2)应用面积不变性可以解决一些实际问题，逆用其面积不变性还可以直接求出值，这样可以简化反比例函数解析式的求法.
知能解读(六)反比例函数在实际生活中的应用
反比例函数模型是实际生活和生产中的一类
( http: / / www.21cnjy.com )问题的数学模型，解决这类问题时，需要先列出符合题意的函数解析式，再利用反比例函数的性质、方程、方程组、不等式等相关知识求解.
根据实际问题，利用反比例函数模型来刻画某些实际问题中变量之间的关系式或利用数形结合来分析实际问题时，要特别注意以下几点：
⑴在实际问题的函数解析式中，因变量和自
( http: / / www.21cnjy.com )变量都有自己代表的实际意义，不仅要学会利用变量的实际意义解答问题，还要学会把从实际中得到的数据转化为解析式中所需的数据；
(2)实际问题中函数图象上的每一点都有自己所代表的实际意义；
(3)作实际问题的图象时，要注意两个变量的取值范围；
(4)在解决实际问题时，经常要应用数形结合思想.
方法技巧归纳
方法技巧(一)反比例函数概念的应用
根据反比例函数的定义:反比例函数的形式主要有.
方法技巧(二)反比例函数的图象与性质的应用
反比例函数的图象位置可根据的符号来确定，当时，同号，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象的两个分支分别位于；第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.
方法技巧(三)反比例函数中比例系数的几何意义的应用
利用反比例函数中比例系数的几何意义解答即可.
方法技巧(四)反比例函数与一次函数的综合应用
一次函数图象与反比例函数图象的交点
( http: / / www.21cnjy.com )的坐标，既适合一次函数的解析式，也适合反比例函数的解析式，可以利用一次函数、反比例函数的图象与性质的综合应用解决一些问题.
易混易错辨析
易混易错知识
1.对反比例函数的定义理解不透.
在识别反比例函数时，(1)容易忽略条件导致出错；(2)易忽视等号右边的关于的分式中分母是关于的单项式而出错，例如，认为是反比例函数.
2.对反比例函数的性质理解出错.
反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，随的增大而减小.在理解时，易忽视“在每一个象限内”这个条件，而理解为时，随的增大而减小.
易混易错(一)因忽视反比例函数中的条件而致错
易混易错(二)因忽视题目图象中的隐含信息而致错.
易混易错(三)研究反比例函数性质时，因忽视前提条件而致错
中考试题研究
中考命题规律
反比例函数的定义、性质、解析式的确定方法
( http: / / www.21cnjy.com )及结合图象对实际问题进行分析是中考必考点，而利用图象及其性质解决问题是中考的热点，题型设计较新颖，有反映时代特点的应用题、图表信息题及与几何面积有关的综合题.
中考试题(一)反比例函数的解析式
中考试题(二)反比例函数的图象与性质
中考试题(三)反比例函数中比例系数的几何意义
中考试题(四)反比例函数与一次函数的图象交点问题
中考试题(五)反比例函数的综合应用