太原市数学中考《第十八章平行四边形》知识点聚焦

第十八章
平行四边形
考情分析
高频考点
考查频率
所占分值
1.平行四边形的定义及性质
★★
12～20分
2.平行四边形的判定
★★★
3.平行线间的距离
★
4.三角形的中位线
★★
5.平行四边形中的有关计算
★★
6.矩形、菱形、正方形的判定和性质
★★★
知能图谱
第42讲　平行四边形
知识能力解读
知能解读（一）平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
注意
（1）只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形。
（2）平行四边形的概念具有性质和判定的双重作用。
知能解读（二）平行四边形的性质
元素
性质
边
对边平行且相等
角
对角相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分
对称性
中心对称图形，对称中心是对角的交点
知能解读（三）平行四边形的判定（识别）
元素
判定方法
边
两组对边分别平行四边形是平行四边形（定义）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
知能解读（四）平行线的距离
（1）两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
（2）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
知能解读（五）三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
（2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
注意
与三角形的中位线有关的三个结论：
（1）三条中位线组成一个三角形，其周末长为原三角形周长的一半，面积为原三角形面积的四分之一；
（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
（3）三角形的一条中位线与第三条边上的中线互相平分.
方法技巧归纳
方法技巧（一）平行四边形的判定方法
平行四边表的判定方法较多，在使用对关键是根据已知条件灵活选择适当的方法.如果题目中边的条件较多，就考虑使用边的判定方法进行判断；如果已知条件主要是关于对角线的，可利用对角线互相平分进行判断；而如果已知条件是针对角的，应想到利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断.
方法技巧（二）利用平行四边形边的性质进行计算
一般先根据平行四边形的对边相等找到周长与两邻边长的关系，再结合已知线段求解。
点拨
（1）平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.
（2）平行四边形被两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形的周长之差等于邻边之差.
点拨
在平行四边形中，只要知道一个角的度数或两个角之间的和、差、倍、分关系，就可以利用平行四边形邻角互补、对角相等这一性质来求出其他所有角的度数.
方法技巧（三）平行四边形性质和判定的综合应用
综合应用平行四边形的性质和判定时，一定要正确区分哪个地方用判定，哪个地方用性质，不要混淆，在使用判定时，要根据题目条件选择简便的判定方法.
注意
结合已知条件选择正确的判定方法是解题的关键.当已知条件是对角线时，可首先考虑用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定上.
点拨
在选择平行四边形的判定方法时，根据条件选择合适的方法，在已知对边平行的前提下，证这组对边相等或另一组对边平行.
方法技巧（四）三角形中位线的使用技巧
在题目中当出现三角形两边中点时，往往利用三角形的中位线等于第三边的一半来求线段之间数量关系.
点拨
本题涉及三角形中位线定理，平行四边形的判定、性质及勾股定理.利用三角形中位线定理找出DE与BC的关系是解题关键.
易混易错辨析
易混易错知识
1.对识别条件不理解，不能准确地利用平行四边形的判定方法.
在解题过程中，有时误用条件而导致判断出错，凭主观想象判断一个四边形是平行四边形.
2.受思维定式影响，把题目中没有的条件用在证明过程中.
对顶角是较熟的知识，但是若题目中没有给出不能凭直觉直接当已知条件使用.
易混易错（一）对识别条件使用不当而致误
易混易错（二）在证明过程中受思维定式影响忽视条件而致误
中考试题研究
中考例题规律
本讲主要考查借助于平行四边形的性质定理解决线段相等、角相等和求值问题及平行四边形的判定和三角形中位线定理，题型有填空题、选择题和解答题
中考试题（一）利用平行四边形求解
中考试题（二）利用平行四边形推理证明
点拨
（1）平行四边形的判定方法有多种，根据条件灵活选择；（2）对于折叠问题，注意折叠前后相等的线段、相等的角的应用。
点拨
本题考查了平行四边形的判定和三角形中位线的性质，熟练掌握各定理是解题关键。
第43讲　特殊的平行四边形
知识能力解读
知能解读（一）矩形的概念、性质及判定
1　矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫开矩形。
2　矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的四个角都是角直；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴且都是过对边中点的直线；（5）矩形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心。
3　矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形（或对角形互相平分且相等的四边形是矩形）。
注意
（1）若易证一个四边形是平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得该四边形是矩形；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
知能解读（二）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
知能解读（三）菱形的概念、性质及判定
1　菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
2　菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对角线所在的直线；（5）菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。
3　菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。
4　菱形的面积公式
拓展
对角形相互垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积和一半。
知能解读（四）正方形的性质与判定
（1）正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它们的一切性质，按边、角、对角形分类，正方形的性质有：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角形相等，并且互相垂直平分，每条对角形平分一组对角；③正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是两条对角线所在的直线以及过边中点的直线；④正方形是中心对称图形，两条对角线的交点为对称中心。
（2）正方形的判定（拓展）。
①定义：一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；三角线相等的菱形是正方形；④对角形互相垂直的矩形是正方形。
注意
（1）以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形等.解题时可以根据实际情况灵活选择.
（2）证明正方形的一般步骤是：先证出四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证明是正方形.
（3）矩形判定条件+菱形判定条件=正方形判定条件.
知能解读（五）四边形与特殊四边形的关系
（1）利用图理解四边形与特殊四边形的从属关系.
（2）如图所示，是从特殊四边形的定义揭示其联系与区别.
知能解读（六）中点四边形（拓展）
常见四边形的中点四边形.
原四边形
一般四边形
矩形
菱形
正方形
图示
顺次连接
各边中点
所得的四
边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
方法技巧归纳
方法技巧（一）利用矩形的性质求线段长或角的度数的方法
在求线段长时主要考虑矩形的边、对角线的性质以及矩形被对角线所分成的三角形的特点，而求角的度数时应使用矩形的四个角都是直角并与三角形内角和定理相结合.
点拨
点拨
矩形的对角线相等且互相平分，由此可知对角线的交点把两条对角线分成的四条线段都相等.
注意
矩形的一条对角线把线把矩形分成两个直角三角形，两条对角线相交后矩形被分成四个等腰三角形，这一特点在求线段长或角的度数时非常有用，应注意把握.
方法技巧（二）利用菱形的性质求线段长或角的度数的方法
利用菱形的性质求线段的长主要是利用菱形的四条边都相等的性质，而求角的度数应考虑每一条对角线平分一组对角这一特点.
点拨
在菱形中证明或计算应充分考虑菱形的性质，如“菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”等，结合题意，选择合适的性质进行说理或计算.
方法技巧（三）利用正方形的性质求角的度数的方法
熟悉正方形性质的特殊性对解计算题非常有用.如正方的对角线与边的夹角为；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个完全一样的等腰直角三角形等.
方法技巧（四）特殊平行四边形性质和判定的综合运用
当题目中出现多种特殊平行四边形时，应正确区分各种特殊平行四边形的性质和判定，避免混淆.
易混易错辨析
易混易错知识
1.对矩形的性质、判定理解不透致错.
矩形的四个角都是直角，但有三个角是直角的四边形就是矩形，判定一个四边形是矩形要严格按判定方法，不要漏条件.
2.矩形、菱形、正方形的判定方法.
由于它们各自的判定方法都比较多，在使用时应注意两个方面问题：一是不是混淆三种图形之间判定方法；二是每种图形各自的判定方法的条件一定要把握好.
易混易错（一）对矩形的性质、判定理解不透致错
易混易错（二）混淆菱形的性质、判定致错
中考试题研究
中考命题规律
本讲知识是中考重点考查内容，是平行线与三角形两部分内容的应用与深化，中考常考查与特殊平行四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠等问题，题型以填空题、选择题为主，也有一部分综合性较强的计算题、证明题.近年来又出现了一些与特殊四边形有关的开放探索题、操作题等，应予以关注.
中考试题（一）特珠平行四边形的性质和判定
中考试题（二）应用特殊平行四边形的性质解题
点拨
菱形的面积等于底乘高，也等于两条对角线乘积的一半.
中考试题（三）利用特殊平行四边形进行推理证明
点拨
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定等知识，得出是解题的关键.