太原市数学中考第十九章解直角三角形知识点聚焦

第十九章
解直角三角形
考
情
分
析
高频考点
考查频率
所占分值
1.勾股定理
★★
8～12分
2.勾股定理的逆定理
★
3.锐角三角函数的概念
★★
4.特殊角的锐角三角函数
★★★
5.解直角三角形
★★
6.解直角三角形的应用
★★★
7.解非直角三角形
★★
知能图谱
第44讲
勾股定理
知识能力解读
知能解读（一）勾股定理及其验证方法
（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么。
（2）勾股定理的验证。
勾股定理的验证方法常见于中考命题。
勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图法是最常见的一种方法，验证如下：
现有四块直角边长为，，斜边长为的直角三角形纸板，请从中取出若干块进行拼图（需画出所拼的图形），证明勾股定理。
证法1：如图所示，
∵，
∴，∴。
证法2：如图所示，
∵，
∴，
整理，得。
证法3：如图所示，
∵，
∴，整理，得。
知能解读（二）勾股定理的应用
勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其应用有：（1）已知两边求第三边；（2）证明三角形中的某些线段的平方关系；（3）作长为的线段。
知能解读（三）勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形。
点拨
勾股定理的逆定理是判定三角形是直角三角形的一个依据。
知能解读（四）勾股数
一般地，能够成为直角三角形三条边长的三个正常数称为勾股数，当为正整数时，下列各组数都是常见勾股数：，，，，等。如当时，是一组勾股数：当时，也是一组勾股数。
点拨
求勾股数的方法：（1）如果是大于1的奇数，，是两个连续自然数，且有，则，，是一组勾股数；（2）如果，，为一组勾股数，则，，也是一组勾股数，其中为自然数。
方法技巧归纳
方法技巧（一）利用勾股定理直接求直角三角形的第三边的方法
利用勾股定理求直角三角形的第三边时，应先明确哪条是直角边，哪条边是斜边。
点拨
本题考查勾股定理及平行线分线段成比例定理，由条件得出为的中点，进而利用三角形中位线定理解题。
方法技巧（二）利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状的方法
如果一个三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，且为斜边长，所对的角为直角。
勾股定理的逆定理将数转化为形，通过计算，判定三角形的形状。
点拨
已知三角形的三边长，可以运用勾股定理的逆定理判定这个三角形是否为直角三角形，其方法是：先比较三边的大小找出最长边，只是较短两边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形。
方法技巧（三）勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理在现实中的应用比较广泛，但归结起来主要有以下两方面：一是根据勾股定理求某些线段的长度；二是利用其逆定理判断三角形的形状。
易混易错辨析
易混易错知识
把握不好勾股定理适用的范围：只适用于直角三角形，而不适用于其他的三角形。
易混易错（一）利用勾股定理直角三角形某条边时，未分情况讨论出现漏解
易混易错（二）忽略勾股定理存在的条件致错
中考试题研究
中考命题规律
勾股定理及其逆定理是近年来中考的热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及利用其逆定理判定三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题均有，常与解直角三角形、三角函数、四边形、圆等知识综合在一起进行考查。
中考试题（一）利用勾股定理运算求解
中考试题（二）利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
中考试题（三）应用勾股定理解决实际问题
中考试题（四）勾股定理的证明
点拨
证明勾股定理是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到。
第45讲
锐角三角函数
知识能力解读
知能解读（一）正弦、余弦、正切的概念
如图所示，在中，。
（1）锐角的对边与斜边的比叫作的正弦，
记作，
即。
（2）锐角的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即。
（3）锐角的对边与邻边的比叫作的正切，记作，即。
锐角的正弦、余弦、正切都是的三角函数。
注意
（1）正弦、余弦、正切的概念都是直角三角形中给出的，应用时要避免对任意的三角形随便套用。
（2）不是与的乘积，是三角函数记号，是一个整体。“”表示一个比值，其他两个三角形函数记号也是一样的。
（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
（4）在范围内：，，。
知能解读（二）特殊角的三角函数值
特殊角有角，它们的三角函数值如下表：
三角函数值
1
知能解读（三）知识拓展
1
锐角三角函数值的变化情况
当时，的正弦值、正切值随角的度数的增大而增大，即若，且均为锐角，则；
的余弦值随角的度数的增大而减小，即若，且均为锐角，则.
2
同角的三角函数之间的关系
（1）平方关系：为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于1.
（2）商的关系：为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切.
3
互为余角的角的三角函数之间的关系
若，则.
即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
知能解读（四）用计算器计算三角函数值
用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的.
注意
由三角函数值求角的度数时，要用到sin
cos
tan键的第二功能键，要注意按键的顺序.
知能解读（五）直角三角形的性质
在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半.
方法技巧归纳
方法技巧（一）三角函数值的求法
锐角三角函数值是直角三角形中各边之间的比值，要求某一锐角的某三角函数值，应明确是哪些边之间的比值，一定要依据各自的定义进行计算.
方法技巧（二）特殊角的三角函数值的有关计算
特殊角的三角函数值的有关计算，关键是熟记角的各种三角函数值，将对应的三角函数值代入进行计算即可.
点拨
本题需掌握“几个非负数的和为0，则这几个非负数的值分别为0”的性质，并需熟记特殊角的三角函数值。
方法技巧（三）锐角三角函数增减性的应用
点拨
解答此题的关键首先是明确锐角的余弦函数值是随角的度数的增大而减少的，其次是熟记特殊角（30°，45°，60°角）的余弦值。
易混易错辨析
易混易错知识
1.没有明确三角形的形状直接求锐角三角函数，导致出错.
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，因此在解答问题之前，必须看锐角是否在直角三角形中.
2.特殊角的三角函数值.
进行计算时，记错角的各种三角函数值.
易混易错（一）未判断三角形形状，乱用条件致错
易混易错（二）忽视锐角三角函数的取值范围致错
中考试题研究
中考命题规律
直角三角形的边角关系——三角函数是数形结合思想的最直观的体现，是中考的必考内容之一，多以选择题、填空题的形式出现，主要考查三角函数值的求法及特殊角的三角函数值的有关运算，多为中、低档题.
中考试题（一）对锐角三角函数概念的理解
中考试题（二）构造直角三角形求锐角三角函数值
中考试题（三）特殊角的三角函数值的综合计算
第46讲
解直角三角形
知识能力解读
知能解读（一）直角三角形的边角关系
如图所示，直角三角形ABC的边角关系可以从以下三个方面加以归纳：
（1）三边之间的关系：（勾股定理）.
（2）两锐角之间的关系：.
（3）边角之间的关系：.
知能解读（二）解直角三角形的概念及基本类型
（1）概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程.叫作解直角三角形.利用“知能解读（一）”中直角三角形的边角关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素.
（2）解直角三角形的四种基本类型：①已知两直角边；②已知一直角边和斜边；③已知一锐角和一直角边；④已知一锐角和斜边.
拓展
在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构造直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高.对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法实现问题的有机转化.
点拨
解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中”.这几句话的意思是当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，则用乘法，不用除法，既可由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据.
知能解读（三）实际问题中常用的概念
1　仰角、俯角
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角，如图所示.
2　坡度、坡角
如图所示，坡面的铅直高度h和水平距离的比叫坡度，，坡面与水平面的夹角叫坡角.实际上，坡度就是坡角的正切值.
点拨
坡度经常写成的形式，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之坡度越小，坡角越小，坡面越缓.
3　方位角
从正北方向线或正南方向线到目标方向线所成的小于的角，叫作方位角，如图所示，OA是表示北偏东方向的一条射线.
知能解读（四）应用直角三角形解实际问题的一般过程
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形问题）；
（2）根据问题中的条件，选用适当的锐角三角函数解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.
方法技巧归纳
方法技巧（一）已知两边解直角三角形的方法
已知两边解直角三角形，一般是先由勾股定理求出第三边，再由三角函数求出其中的一个锐角，最后利用两锐角互余求出另一个锐角.
方法技巧（二）已知一锐角、一边解直角三角形的方法
已知一锐角和一边解直角三角形时，先由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用恰当的三角函数求出另外两条边；或利用三角函数求出一条边后，再利用勾股定理求出第三边.
点拨
本题也可求出一条边后，利用勾股定理求出第三条边。
方法技巧（三）非直角三角形的解法
非直角三角形的解法，通常是根据题目的特点，添加恰当的辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题.作辅助线时常用非特殊角的顶点作高.
方法技巧（四）利用解直角三角形解决实际问题
1　仰角、俯角问题
点拨
解非直角三角形问题一般通过作高构造直角三角形求解。
2　方位角问题
3　坡度、坡角问题
点拨
与坡度、坡角有关的问题，通常与勾股定理、锐角三角函数综合考查。
易混易错辨析
易混易错知识
审题不清，对名词术语理解不透，如仰角、俯角等在图中找不准致错。
易混易错对名词术语不理解导致错误
中考试题研究
中考命题规律
解直角三角形知识是中考中不可缺少的考查内容，从题型上看，有选择题、填空题、解答题、选择题、填空题主要考查解直角三角形的概念等简单的基础性题目，多为低档题；解答题主要考查灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题，多以中档题为主，也有中档以上有一定难度的题目。
中考试题（一）利用解直角三角形求解
中考试题（二）利用解直角三角形解决实际问题