2.2.1 双曲线及其标准方程 课件3

课件49张PPT。圆锥曲线与方程第二章2.2　双曲线
双曲线及其标准方程第二章1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.重点：双曲线的定义及其标准方程．
难点：双曲线标准方程的推导.双曲线的定义思维导航
新知导学
1．类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义
在平面内到两个定点F1、F2距离之______的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点之间的距离叫做双曲线的________．
差焦点焦距
2．定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”．
(1)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是__________；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是__________．
(2)双曲线定义中应注意关键词“________”，若去掉定义中“________”三个字，动点轨迹只能是_____________．两条射线不存在绝对值绝对值双曲线的一支类比椭圆方程的建立过程，你该怎样建立双曲线的方程呢？
在椭圆标准方程推导过程中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.这样做有什么好处？双曲线的标准方程思维导航 (a>0，b>0) 4．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为__________.
5．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比．a2＋b2＝c2椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
6.在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2项__________的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2、y2__________的符号．分母系数牛刀小试
1．已知两定点F1(－3，0)、F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)
A．||PF1|－|PF2||＝5　 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析]　A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故运点P的轨迹是双曲线；
B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；
C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；
D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.
[答案]　A[点评]　注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际上，
(1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射线；
(2)若2a>|F1F2|，即||PF1|－|PF2||>|F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；
(3)特别的当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．[答案]　C3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
[答案]　D[答案]　A[答案]　(1)以(－5，0)，(5，0)为焦点的双曲线；
(2)以(－4，0)，(4，0)为焦点的双曲线的右支．[分析]　可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．待定系数法求双曲线的标准方程 2．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2＋ny2＝1，但这里应有m·n<0.[分析]　条件涉及双曲线上的点到两个焦点的距离，故可考虑用定义求解．双曲线的定义
[方法规律总结]　在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．
已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．[答案]　33双曲线的焦点三角形问题 [解析]　由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，
由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
[方法规律总结]　双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝±2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意．分类讨论思想的应用 [分析]　解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[解析]　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
[方法规律总结]　解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．已知定点A(－3，0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．
[点评]　求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
若F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．