2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件4

课件51张PPT。圆锥曲线与方程第二章2.3　抛物线
抛物线的简单几何性质第二章1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．
2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.重点：抛物线的几何性质．
难点：抛物线几何性质的运用.1．类比椭圆、双曲线的性质性质，结合图象和方程，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．
新知导学
1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质
(1)对称性：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以______轴为对称轴的轴对称图形．
抛物线的对称轴叫做抛物线的______，抛物线只有一条对称轴．抛物线的几何性质思维导航 x轴(2)顶点：抛物线和它的_____的交点叫做抛物线的顶点．
(3)离心率：抛物线上的点到______的距离和它到_______的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率为1.
(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为________.
(5)范围：由y2＝2px≥0，p>0知x≥0，所以抛物线在y轴的_______侧；当x的值增大时，|y|也_______，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P值越大，它开口__________．轴焦点准线2p右增大越开阔[答案]　B[答案]　A
[解析]　∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，
∴抛物线的方程为标准形式．
当抛物线的焦点在x轴上时，
∵抛物线过点(－1，2)，
∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．
∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝－4x.[点评]　将点(－1，2)的坐标代入检验，易知选A.3．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是________．
[答案]　y2＝24x或y2＝－24x思维导航
结合直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系，考虑怎样讨论直线与抛物线的位置关系？直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦 新知导学
2．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线________，若Δ>0，则直线与抛物线______，若Δ<0，则直线与抛物线____________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有______个公共点．
3．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程____的问题．相切相交没有公共点一根4．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为5.p表示焦点到准线的距离，p>0.p值越大，抛物线的开口越________；p值越小，抛物线的开口越________．
6．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.宽窄
(1)以AB为直径的圆必与准线l__________；
(2)|AB|＝____________＝x1＋x2＋p；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝_______，y1·y2＝__________.相切－p2牛刀小试
4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)
A．8 B．16
C．32 D．61
[答案]　B
[解析]　由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2.
代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.待定系数法求抛物线的标准方程 [方法规律总结]　由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时，应先确定其形式，再由条件确定待定系数．[分析]　由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p.抛物线的焦点弦问题 解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A、E、B作准线l的垂线，垂足为D、H、C，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝|GF|，即|AB| min＝2|GF|＝2p.
[方法规律总结]　解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．最值问题 [方法规律总结]　与抛物线有关的最值问题，一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解．(2)设P是抛物线y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为________，点P的坐标为________．
[解析]　(1)如下图．审条件，挖解题信息，已知直线AB、AC过定点，AB与AC两直线倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示．
第二步，建联系确定解题步骤．先设直线AB的斜率为k，用k将AB、AC的方程表示出来，再由直线与抛物线交于两点，利用根与系数的关系求得B、C点的坐标，然后验证kBC与k无关．
第三步，规范解答
[点评]　自己试一下，将直线与抛物线的方程联立后消去x解答，并比较两种解法，你有什么体会？
[方法规律总结]　解析几何中，常遇到定点、定值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等．A、B为抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为原点，若OA⊥OB，求证：直线AB过定点．
[辨析]　本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．