3.1.2 导数的概念 课件2

课件28张PPT。第三章 导数及其应用3.1.2 导数的概念自由落体运动中，物体在不同时刻的
速度是不一样的.平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况.物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)所以同理例1是计算了[3，3+△t]当t=0.1，t=0.01，t=0.001时的平均速度.上面是计算了△t>0时的情况下面再来计算△t<0时的情况解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)所以设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则当△t→0时，
物体的速度趋近于一个确定的值3g在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于
在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度
当△t→0的极限， 设物体的运动方程是 s=s(t)，
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ， 一般结论就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内，
当△t→0 时平均速度的极限 ，即 让我们再来看一个例子P相切相交再来一次例2P再来一次设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x，y0+△y) ， 过P，Q两点作割线，
则直线PQ的斜率为上面我们研究了切线的斜率问题，可以将以上的过程概括如下：当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，
也即△x 变小当△x→0时，PQ无限靠近PT因此：一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数记作：　　　或　　　　　　　　即注意：1、函数应在点的附近有定义，
　 否则导数不存在. 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
　 可正、可负，但不为0，而△y可能为0.3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0
　 及其附近的函数值有关，与△x无关.4、若极限 　 不存在，则称
　 函数在点x0处不可导.
物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数
即在t0处的瞬时速度vt0函数y=f(x)在x0处的导数
即曲线在x0处的切线斜率．导数可以描述任何事物的瞬时变化率．瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增
　　　长率，经济学上讲的一切边际量等．例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15 (0?x ?8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义.解：第2h和第6h时，原油温度的
瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6)根据导数定义：所以，同理可得 f '(6)=5f(x)=x2-7x+15 f '(6)=5 说明在第6h附近，原油温度
大约以5 ℃/h的速度上升；说明在第2h附近，原油温度
大约以3 ℃/h的速度下降；所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.由导数的定义可知，求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是： (2)求平均变化率(3)取极限，得导数(1)求函数的增量练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动
(位移单位：m ， 时间单位：s).若质点在
t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.a=2由导数的定义可知，求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)取极限，得导数小 结:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
的定义.