3.3.2 函数的极值与导数 课件2

课件42张PPT。圆锥曲线与方程第三章3.3　导数在研究函数中的应用
函数的极值与导数第三章结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.重点：利用导数的知识求函数的极值．
难点：函数的极值与导数的关系.新知导学函数的极值与导数的关系 1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递______，f ′(x)_____0，右侧f(x)单调递_____，f ′(x)_____ 0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a)______0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________ ，(e，f(e))，与b类似的点还有__________ ．
我们把点a叫做函数f(x)的极_______值点，f(a)是函数的一个极______值；把点b叫做函数f(x)的极_____值点，f(b)是函数的一个极______值．增>减<＝(c，f(c))(d，f(d))大大小小2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；如果都有__________ ，则称函数f(x)在点x0处取得_________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为_____，极大值点与极小值点统称为_______．f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点
3．理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧________的点而言的．
(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_______极值．
附近定义域内没有(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极______值．(如图)大牛刀小试
1．函数y＝x3＋1的极大值是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．0
C．2 D．不存在
[答案]　D
[解析]　∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．[答案]　A3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　B[解析]　f ′(x)＝3x2－6x.
令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；
令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减．
当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案]　D[分析]　首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．利用导数求函数的极值
[方法规律总结]　1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值；
(3)如果f ′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．
2．利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)解方程f ′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.
(1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析]　(1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，
∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.
∴f(x)＝x3＋3x2－9x，
∴f′(x)＝3x2＋6x－9，
∴f(0)＝0，f′(0)＝－9，
∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x.[分析]　f(x)在x＝1处的极小值为－1包含以下的含义：一是f(1)＝－1，二是f ′(1)＝0.已知函数极值求参数 已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的极小值．(2)f ′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
当f ′(x)＝0时，x＝0或x＝1.
当f ′(x)>0时，0当f ′(x)<0时，x<0或x>1.
∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.图象信息问题 [分析]　给出了y＝f′(x)的图象，应观察图象找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．
[答案]　③
[方法规律总结]　有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案]　C
[解析]　设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x0，f(x)为增函数，
当x1则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点.分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 [解题思路探究]　第一步，审题．审结论明确解题方向，求函数f(x)的单调区间与极值，需求f ′(x)，然后按单调性和极值与导数的关系求解；
审条件，发掘解题信息，f(x)是三次函数，f ′(x)是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间；f(x)解析式中含参数，应分类讨论．
第二步，建联系，找解题途径．
先求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0找分界点，再按a的符号讨论单调性求极值．
第三步，规范解答．[辨析]　根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x＝－1时函数两侧的单调性，导致错误．
[正解]　(在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；
当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.