3.3.3 函数的最大（小）值与导数 课件2

课件23张PPT。第三章 导数及其应用3.3.3 函数的最值与导数极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质，而不是函数在整个定义域内的性质.但是我们往往更关心函数在某个区间上
哪个值最大，哪个值最小.观察区间[a，b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到.函数y=f(x)在区间[a，b]上最大值是f (a)，图1最大值是f (x3)，图2函数y=f (x)在区间[a，b]上最小值是f (x4).一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f (x)
的图象是一条连续不断的曲线，那么
它必有最大值和最小值.怎样求函数y=f (x)在区间[a ，b]内的最大值
和最小值？思考只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点
的函数值进行比较即可.例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0， 3]上的
最大值，最小值.例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0，3]上的
最大值，最小值.解：由上节课的例1知，在[0，3]上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12，f (3)=3，因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0， 3]上的
最大值为12，最小值为-4.①求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
(极大值与极小值)； ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即端点的函数值)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间
[-2，2]上的最大值与最小值.因为f(-2)=57， f(1.5)=-28.75， f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)令 =0，解得x1=-2 ， x2=1.5练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间
[-1，1]上的最值.解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)因为 在[-1，1]内恒大于0， 所以 f(x)在[-1，1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2.例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a；
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，
求它在该区间上的最小值.令 <0，解得x<-1或x>3解: (1) =-3x2+6x+9函数f(x)的单调递减区间为
(-∞，-1) ∪(3，+∞)(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a∴f(2)>f(-2)于是有22+a=20，解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1，2]上单调递增∴在(-1，3)上 >0， 又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7.∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的
最大值和最小值.∴f(-1)=1+3-9-2=-7，例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0练习3:当x>1时，证明不等式:证:设 显然f(x)在[1，+∞)上连续，且f(1)=0.显然，当x>1时， ，故f(x)是
[1，+∞)上的增函数.所以当x>1时，f(x)>f(1)=0，即当x>1时，例4、求证证明：设在x=1附近 由负到正令 =0，解得x=1，当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x>0时，f(x) ≥f(1)=0从而小 结:①求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
(极大值与极小值)； ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即端点的函数值)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下