1.2 充分条件与必要条件 同步练习3（含部分答案）

1.2
充分条件与必要条件
同步练习
一、选择题
1.若α∈R，则“α=0”是sin
αα”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:当α=0时，sin
αα成立；若sin
αα，α可取等值，所以“α=0”是“sin
αα”的充分不必要条件.故选A.
2.已知α，β是不同的两个平面，直线a α，直线b β.命题p:a与b无公共点；命题q:α∥β，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
3.若a，b为实数，则“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:当0；
反过来，b<，当a<0时，有ab>1.
∴“04.a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:函数f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b为一次函数，则即a⊥b且|a|≠|b|.因此“a⊥b”是“f(x)是一次函数”的必要不充分条件.
5.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有AC⊥BD；但当AC⊥BD时，四边形不一定是菱形(如图)，因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.
二、填空题
6.设A，B，C为三个集合，为使A (B∪C)，条件A B是__________条件.
答案:充分不必要
解析:如图所示.
∵A B，而B (B∪C)，∴A (B∪C).
但是当B=N，C=R，A=Z时，显然A (B∪C)，但A B不成立.
综上所述，“A B” “A (B∪C)”，而“A (B∪C)”A B.
∴A B是A (B∪C)的充分不必要条件.
7.设n∈N
，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=__________.
答案:3或4
解析:∵方程有实数根，∴Δ=16-4n≥0.∴n≤4.
原方程的根x==2±为整数，
则为整数.
又∵n∈N
，∴n=3或4.
反过来，当n=3时，方程x2-4x+3=0的两根分别为1，3，是整数；当n=4时，方程x2-4x+4=0的两根相等且为2，是整数.
8.已知a，b为两个非零向量，有以下命题:
①a2=b2；②a·b=b2；③|a|=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要不充分条件的命题是_____.(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
答案:①②③
解析:显然a=b时，①②③均成立，即必要性成立.
当a2=b2时，(a+b)·(a-b)=0，不一定有a=b；
当a·b=b2时，b·(a-b)=0，不一定有a=b；
当|a|=|b|且a∥b时，a=b或a=-b，即①②③都不能推出a=b.
三、解答题
9.已知条件p:x2+x-6=0，条件q:mx+1=0，且q是p的充分不必要条件，求m的值.
10.求使关于x的方程x2-2mx+m2-m-2=0的两根都大于2的充要条件.