1.4 全称量词与存在量词 同步练习3（含答案）

1.4
全称量词与存在量词
同步练习
一、选择题
1.已知命题p: x>0，总有(x+1)ex>1，则 p为(　　)
A. x0≤0，使得(x0+1)≤1
B. x0>0，使得(x0+1)≤1
C. x>0，总有(x+1)ex≤1
D. x≤0，总有(x+1)ex≤1
答案:B
解析:由全称命题 x∈M，p(x)的否定为 x0∈M， p(x)，可得 p: x0>0，使得(x0+1)≤1.故选B.
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p: x∈A，2x∈B，则(　　)
A. p: x∈A，2x∈B
B. p: x A，2x∈B
C. p: x∈A，2x B
D. p: x A，2x B
答案:C
3.下列命题中是真命题且为特称命题的是
(　　)
A. x∈(0，+∞)，
B.对任意φ∈R，函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
C.对任意实数x，有cos
x≤1
D.至少有一条直线过点(2，0)且与圆x2+y2=1相交
答案:D
解析:A中，x>0时，由，得，是假命题；B，C中命题都是全称命题，故选D.
4.已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)
A. x∈R，f(x)≤f(x0)
B. x∈R，
f(x)≥f(x0)
C. x∈R，f(x)≤f(x0)
D. x∈R，f(x)≥f(x0)
答案:C
解析:由于x=-是抛物线f(x)=ax2+bx+c的对称轴，且a>0，所以f(x0)是f(x)的最小值.故C项为假命题.
5. x∈R，x2-ax+1≤0为假命题，则a的取值范围是(　　)
A.(-2，2)
B.[-2，2]
C.(-∞，-2)∪(2，+∞)
D.(-∞，-2]∪[2，+∞)
答案:A
解析: x∈R，x2-ax+1≤0为假命题，则其否定为 x∈R，x2-ax+1>0为真命题.
设f(x)=x2-ax+1，则f(x)是开口向上的二次函数，其图象与x轴无交点，即Δ=(-a)2-4<0，解得-2二、填空题
6.命题“ x∈[-2，3]，-1答案: x∈[-2，3]，x≤-1或x≥3
7.命题“ x∈(-1，1)，2x+a=0”是真命题，则a的取值范围是_________.
答案:-2解析:设f(x)=2x+a，则f(x)=2x+a在(-1，1)内有零点，∴(a+2)(a-2)<0，解得-28.命题:若a3+b3=2，则a+b≤2的否命题是________，命题的否定是_________.
答案:若a3+b3≠2，则a+b>2　若a3+b3=2，则a+b>2
三、解答题
9.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定:
(1)存在一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形；
(2) a∈R，函数f(x)=ax2+3的值域是[3，+∞)；
(3) x∈R，sin2+cos2.
解:(1)真命题.所有三棱锥的每个侧面不都是直角三角形；
(2)假命题. a∈R，函数f(x)=ax2+3的值域不是[3，+∞)；
(3)假命题. x∈R，sin2+cos2.
10.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞，+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式x2-ax-a≤0的解集不是空集，求实数a的取值范围.
解:方法一:判别式法
(1)设f(x)=x2-ax-a.
则关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞，+∞)，即f(x)>0在(-∞，+∞)上恒成立 Δ=a2+4a<0，解得-4(2)关于x的不等式x2-ax-a≤0的解集不是空集，即x2-ax-a≤0有解，只要Δ=a2+4a≥0，解得a≤-4或a≥0.
方法二:函数的最值法
(1)设f(x)=x2-ax-a，则关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞，+∞) f(x)>0在(-∞，+∞)上恒成立 f(x)min>0，
即f(x)min=->0，解得-4(2)设f(x)=x2-ax-a.则关于x的不等式x2-ax-a≤0的解集不是空集 f(x)≤0在(-∞，+∞)上能成立 f(x)min≤0，即f(x)min=-≤0，
即a2+4a≥0，解得a≤-4或a≥0.