2.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 17.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-10 18:54:29 | ||
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文档简介
2.2.1
双曲线及其标准方程
同步练习
一、选择题
1．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A.
B．1或－2
C．1或
D．1
【解析】 由于a＞0，0＜a2＜4且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
【答案】 D
3．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过右焦点F2，|AB|＝m，F1为左焦点，则△ABF1的周长为
( )
A．2a＋2m
B．
4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
【解析】 根据双曲线的定义：|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，而三角形的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝4a＋2m.
【答案】 B
4．已知平面内有一线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值是( )
A．1
B.
C．2
D．4
【解析】 ∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上，
其中2a＝3，2c＝4，
∴|PO|min＝a＝.
【答案】 B
5．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为·＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而|MF1|·|MF2|＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．设m为常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝_____.
【解析】 由题意c＝5，且m＋9＝25，∴m＝16.
【答案】 16
7．若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k)(k＋2)＞0，解得：－2＜k＜5，即k的取值范围为(－2，5)．
【答案】 (－2，5)
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
【解析】 设右焦点为F′，由题意知F′(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋|F′A|＝4＋＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．求与椭圆＋＝1有相同焦点，并且经过点(2，－)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1知焦点F1(－，0)，F2(，0)．
依题意，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∴a2＋b2＝5，
①
又点(2，－)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.
②
联立①②得a2＝2，b2＝3，
因此所求双曲线的方程为－＝1.
10．已知A(－7，0)，B(7，0)，C(2，－12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．
【解】 设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，
则由题意知|AC|＋|AP|＝|BC|＋|BP|，
∴|BP|－|AP|＝|AC|－|BC|
＝2＜|AB|＝14，
所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝48.
∴所求的轨迹方程为x2－＝1.
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6
km，C在B的北偏西30°方向上，相距4
km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1
km)．A若炮击P地，求炮击的方位角．
【解】 以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是
－＝1(x≥2)．
①
又∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x－y＋7＝0.②
将②代入①得11x2－56x－256＝0，得x＝8或x＝－(舍)．于是可得P(8，5)．
设α为PA所在直线的倾斜角，
又kPA＝tan
α＝，∴α＝60°，故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
双曲线及其标准方程
同步练习
一、选择题
1．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A.
B．1或－2
C．1或
D．1
【解析】 由于a＞0，0＜a2＜4且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
【答案】 D
3．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过右焦点F2，|AB|＝m，F1为左焦点，则△ABF1的周长为
( )
A．2a＋2m
B．
4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
【解析】 根据双曲线的定义：|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，而三角形的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝4a＋2m.
【答案】 B
4．已知平面内有一线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值是( )
A．1
B.
C．2
D．4
【解析】 ∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上，
其中2a＝3，2c＝4，
∴|PO|min＝a＝.
【答案】 B
5．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为·＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而|MF1|·|MF2|＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．设m为常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝_____.
【解析】 由题意c＝5，且m＋9＝25，∴m＝16.
【答案】 16
7．若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k)(k＋2)＞0，解得：－2＜k＜5，即k的取值范围为(－2，5)．
【答案】 (－2，5)
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
【解析】 设右焦点为F′，由题意知F′(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋|F′A|＝4＋＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．求与椭圆＋＝1有相同焦点，并且经过点(2，－)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1知焦点F1(－，0)，F2(，0)．
依题意，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∴a2＋b2＝5，
①
又点(2，－)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.
②
联立①②得a2＝2，b2＝3，
因此所求双曲线的方程为－＝1.
10．已知A(－7，0)，B(7，0)，C(2，－12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．
【解】 设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，
则由题意知|AC|＋|AP|＝|BC|＋|BP|，
∴|BP|－|AP|＝|AC|－|BC|
＝2＜|AB|＝14，
所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝48.
∴所求的轨迹方程为x2－＝1.
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6
km，C在B的北偏西30°方向上，相距4
km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1
km)．A若炮击P地，求炮击的方位角．
【解】 以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是
－＝1(x≥2)．
①
又∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x－y＋7＝0.②
将②代入①得11x2－56x－256＝0，得x＝8或x＝－(舍)．于是可得P(8，5)．
设α为PA所在直线的倾斜角，
又kPA＝tan
α＝，∴α＝60°，故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.