3.1 变化率与导数 教案
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3.1
变化率与导数
教案
【教学目的】
1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；
2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法
3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力，体会数学知识在现实生活中的广泛应用.
【教学重点和难点】
导数的概念是本节的重点和难点
【教学过程】
一、复习提问(导数定义的引入)
1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)
2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
（2）新课
我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.先计算2秒之前的△t时间段内的平均速度，请同学们完成表格1(上课前准备好)左边部分，在完成表格右边部分.
表格1
问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？(表格2)
关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.
3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1.
分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1.
这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：
首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度.为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”.
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
3．函数在处的瞬时变化率如何表示？
导数的定义(板书)
函数在处的瞬时变化率是，
我们称它为函数在处的导数，记作或，
即=.例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或.
附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；
②定义的变化形式：=；
=；=；
，当时，，所以
③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”.
三．典例分析
例1．(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(1＋Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)2，
再求再求
解：法一(略)；
法二：
(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度(单位：)为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以；同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线.
由导数的定义，我们知道，高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率.
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP
的增长率等等.下面我们来看一个导数的应用.
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五、小结
1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；2．导数就是瞬时变化率；
3．导数的计算公式：
4.
求函数在某点处的导数步骤：“一差；二比；三极限”
变化率与导数
教案
【教学目的】
1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；
2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法
3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力，体会数学知识在现实生活中的广泛应用.
【教学重点和难点】
导数的概念是本节的重点和难点
【教学过程】
一、复习提问(导数定义的引入)
1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)
2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
（2）新课
我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.先计算2秒之前的△t时间段内的平均速度，请同学们完成表格1(上课前准备好)左边部分，在完成表格右边部分.
表格1
问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？(表格2)
关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.
3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1.
分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1.
这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：
首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度.为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”.
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
3．函数在处的瞬时变化率如何表示？
导数的定义(板书)
函数在处的瞬时变化率是，
我们称它为函数在处的导数，记作或，
即=.例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或.
附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；
②定义的变化形式：=；
=；=；
，当时，，所以
③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”.
三．典例分析
例1．(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(1＋Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)2，
再求再求
解：法一(略)；
法二：
(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度(单位：)为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以；同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线.
由导数的定义，我们知道，高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率.
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP
的增长率等等.下面我们来看一个导数的应用.
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五、小结
1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；2．导数就是瞬时变化率；
3．导数的计算公式：
4.
求函数在某点处的导数步骤：“一差；二比；三极限”