3.1.1 变化率问题 学案（无答案）

3.1.1
变化率问题
学案
【学习目标】
1.理解平均变化率的概念；
2.了解平均变化率的几何意义；
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
【重点难点】
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
【学习内容】
一、学习背景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；
二、求曲线的切线；
三、求已知函数的最大值与最小值；
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课学习
(一)问题提出
问题1
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？
分析：(1)当从增加到时，气球半径增加了_____________,气球的平均膨胀率为_____________
(2)当从增加到时，气球半径增加了_____________.气球的平均膨胀率为_____________
可以看出：_____________
思考:当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
问题2
高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
思考计算:
和的平均速度
探究:计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示，称为函数从到的平均变化率.
2.若设，
(这里看作是对于的一个“增量”可用代替，同样)
则平均变化率为
思考:
观察函数的图象
平均变化率表示什么？
三、典例分析
例1
已知函数的图象上的一点及
临近一点则
.
解:
例2
求在附近的平均变化率.
解:
四、课堂练习
1.质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为
.
2.物体按照的规律作直线运动，求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
五．【课堂小结与反思】
六．【课后作业与练习】
1．
设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为(　　)
A　　
　B　　　
C　　
D　
2．
一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为(　　)
A　－4　　B　－8　　C　6　D　－6
3．
将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于(　　)
A　　
B　　　
C　　D　
4．
在曲线的图象上取一点(1，2)及附近一点，则为(　　)
A　　　B　　　
C　　　
D　
5．
在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)的函数关系是，则下列说法不正确的是(　　)
A在这段时间里，平均速度是
B　在这段时间里，平均速度是
C运动员在时间段内，上升的速度越来越慢
D运动员在内的平均速度比在的平均速度小
6．函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的_____________
7．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、连线的_____________
8．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是_____________
9．正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？
h
t
o