3.1.3 导数的几何意义 学案（无答案）

3.1.3
导数的几何意义
学案
【学习目标】
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2.理解曲线的切线的概念；
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.
【重点难点】
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
【学习内容】
一、创设情景
我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
二、学习新知
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
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我们发现:
问题:
(1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
说明:
(1)设切线的倾斜角为，
那么当时，割线的斜率，称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.
(二)导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明:
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标；
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
(三)导函数[
由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为的导函数.
记作:或，即.
注:
在不致发生混淆时，导函数也简称导数.
(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.
(2)函数的导数，是指某一区间内任意点而言的，就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一.
三、典例分析
例1
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数在点处的导数.
例2
如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
例3
如图，它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到)
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:验证一下，这些值是否正确.
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
四、课堂练习
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
五、【课堂小结与反思】
六．【课后作业与练习】
1．曲线在处的(
)
A
切线斜率为1
B
切线方程为
C
没有切线
D
切线方程为
2．已知曲线上的一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(
)
A
4
B
16
C
8
D
2
3．函数在处的导数的几何意义是(
)
A
在点处的函数值
B
在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C
曲线在点处的切线的斜率
D
点与点(0，0)连线的斜率
4．已知曲线上过点(2，8)的切线方程为，则实数的值为(
)
A
－1
B
1
C
－2
D
2
5．若，则＝(
)[
A
－3
B
－6
C
－9
D
－12
6．设为可导函数，且满足条件，则曲线在点(1，1)处的切线的斜率为(
)
A
2
B
－1
C
D
－2
7．
已知曲线上的两点A(2，3)，，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________.
8．在曲线上过哪一点的切线，
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)与轴成的倾斜角；
(4)求过点R(1，－3)与曲线相切的直线.