3.3.1 函数的单调性与导数 学案（无答案）

3.3.1
函数的单调性与导数
学案
【学习目标】
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【重点难点】
导数与函数的单调性关系
【学习内容】
一、课前准备
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有__________，那么函数f(x)就是区间I上的__________函数.
复习2：
__________；__________；__________；__________；________；__________；__________；__________；
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：
y=f(x)=x2－4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2，+∞)
(－∞，2)
在区间(2，)内，切线的斜率为
，函数的值随着x的增大而_______，即时，函数在区间(2，)内为_________函数；
在区间(，2)内，切线的斜率为_________，函数的值随着x的增大而_______，即0时，函数在区间(，2)内为_________函数.
新知：一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的减函数.
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
(1)；
(2)；
(3)；(4).
反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：
探究任务二：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？
※
典型例题
例1
已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，.试画出函数图象的大致形状.
变式：函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.
例2
如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.
练1.
判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
(1)；
(2)
练2.
求证：函数在内是减函数.
三、总结提升
※
学习小结
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的定义域；
②求函数f(x)的导数.
③令，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内的符号，由此确定的单调区间
注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
※
知识拓展
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.
如图，函数在或内的图象“陡峭”，在或内的图象“平缓”.
课后作业
1.
若为增函数，则一定有(
)
A．
B．
C．
D．
2.
函数在下面哪个区间内是增函数(
)
A．
B．
C．
D．[
3.
若在区间内有，且，则在内有(
)
A．
B．
C．
D．不能确定
4.函数的增区间是_________，减区间是_____________.
5.已知，则等于_____________.
6.求出下列函数的单调区间：
(1)；
(2).
(3)；
7.已知汽车在笔直的公路上行驶：
(1)如果函数表示时刻时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点.
(2)如果函数表示时刻时汽车的速度，那么(1)中标出点的意义是什么？