3.4 生活中的优化问题举例 教案

3.4
生活中的优化问题举例
教案
教学目标：
1．
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
2．
提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学过程：
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
三．典例分析
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为
。
求导数，得
。
令，解得舍去)。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中
是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1
mL的饮料，制造商可获利
0.2
分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为
6cm
问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是
令
解得
(舍去)
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时，
它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
(1)半径为cm
时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
(2)半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm
时，利润最小．
例3.磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特（bit）.为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
(1)
是不是越小，磁盘的存储量越大？
(2)
为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
(1)它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
(2)为求的最大值，计算．
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得，则
S(R)=
2πR+
2πR2=+2πR2
令
+4πR=0
解得，R=，从而h====2
即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
V(R)=R=
)=0
．
四．课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．(高为1.2
m，最大容积)
五．回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
例4．在边长为60
cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积
．
令
＝0，解得
x=0(舍去)，x=40，
并求得V(40)=16
000
由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16
000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16
000cm3
例5．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
(1)、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2)、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
利润
令，即，求得唯一的极值点
答：产量为84时，利润L最大
例6．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S=
(AD+BC)h，其中AD=2DE+BC，DE=h，BC=b
∴AD=h+b，
∴S=
①
∵CD=，AB=CD.∴l=×2+b
②
由①得b=h，代入②，∴l=
l′==0，∴h=，
当h<时，l′<0，h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=
例7．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y
＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，且x
＞0，y
＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，
在x轴上的两个顶点为(－x，0)、(x，0)，其中0＜
x
＜2．
设矩形的面积为S，则S
＝2
x(4－x2)，0＜
x
＜2．
由S′(x)＝8－6
x2＝0，得x
＝，易知
x
＝是S在(0，2)上的极值点，
即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为和．
【点评】
应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．
练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有
y
＝×30＋×40，y′＝－＋20，
令y′＝0，得x
＝15，且y″＝，f″(15)＞0，
所以当x
＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
故
当x
＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD
＝．
y
＝500(50－x)＋700
＝25000－500
x
＋700，
y′＝－500＋700
·
(x
2＋1600)·
2
x
＝－500＋，
令y′＝0，解得x
＝．
答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
点评：
当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是设几个变量中的一个为x，然后会根据条件用x来表示其他的变量，并写出y的函数表达式.
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
_
x
_
x
_
60
_
60
x
x