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课题：一次函数的图像（第一课时）
教学目标：
知识与技能目标：
⑴理解正比例函数及正比例的意义；
⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；
⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。
过程与方法目标 ：
⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作实践，体验“描点法”；
⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法
情感与态度目标
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合作交流、独立思考的学习习惯．
重点：
理解正比例和正比例函数的意义
难点：
判定两个变量之间是否存在正比例的关系
教学流程：
课前回顾
在下列函数
是一次函数的是 （2）（4） ，是正比例函数的是 （2） .
2、函数的表示法：
①图象法、
②列表法、
③解析式法（关系式法）
三种方法可以相互转化
情境引入
探究1： 什么是函数的图象？
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）．
试在平面直角坐标系中画出点M(4,3)
请作出正比例函数y=2x的图象．
分析:函数图象上的点一般来说有无数多个,要把每个点都作出来得到函数图象很困难,甚至是不可能的.所以我们常作出函数图象上的一部分点,然后用光滑的线把这些点连接起来得到函数的图象.2·1·c·n·j·y
请同学们想一想,怎么才能得到图象上的一部分点呢
为此,我们首先要取一些自变量x的值,求出对应的
函数值y,那么以(x,y)为坐标的点就是函数图象上的点.为了表达方便,我们可以列表来表示x和y的对应关系.【来源：21·世纪·教育·网】
解：列表: 取自变量的一些值,求出对应的函数值,填入表中.
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．
总结：作一个函数的图象需要三个步骤：
列表，描点，连线．
这种画函数图象的方法叫做描点法.
练习1：
画出一次函数y=2x的图象
先列表：
再描点连线
做一做
(1)作出一次函数y=-3x的图象.
(2) 在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否都满足关系y=-3x.满足
（1）列表
（2）描点连线
( 1 ) 满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)是否都在它的图象上 是
( 2 ) 正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足它的关系式吗 满足
( 3 ) 正比例函数y=kx的图象有什么特点 一条直线
总结：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这点与原点画直线就可以了（两点法）。
练习2：下列各点哪些在函数y=x-1的图象上？（B）
A (-1.5, -2.5)
B ( 3, 3 )
C ( 1, 0)
D (0, 1)
自主思考
探究2：在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-x,y=-4x的图象．
解：列表
x 0 1
y=x 0 1
y=3x 0 3
y=-x 0 -
y=4x 0 -4
过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象．
过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象．
过点（0，0）和（1，-）作直线，则这条直线就是y=-x的图象．
过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象．
目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.21教育网
效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象．21cnjy.com
议一议
（1）上面的函数都是什么函数？
正比例函数
（2）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线
(3)你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？
两个
（4）直线y=-0.5x ,y=x ,y=3x和y= -4x中，哪一个与 x轴正方向所成的锐角最大？哪一个与x轴正方向所成的锐角最小？ www.21-cn-jy.com
y=-4x最大 y=0.5x最小
上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化
总结：在正比例函数y=kx中,
当k＞0时,图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的);21·世纪*教育网
当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).www-2-1-cnjy-com
思考:
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？2-1-c-n-j-y
（2）正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ 21*cnjy*com
我们发现：越大，直线越靠近y轴。
图像必经过（0，0）和（1，k）这两个点
练习3：1、关于函数y= -3x，图象经过二 、四 象限,y随x的增大而 减小 ，函数的图像 不经过（经过，不经过）点（-1，-3）【来源：21cnj*y.co*m】
2、关于函数y= 2x，图象经过 一、三 象限,y随x的增大而 增大 ，函数的图像 不经过 （经过，不经过）点（-1，2）【出处：21教育名师】
3 、正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个正比例函数的解析式为 y = 2x 。
五、达标测评
1. 函数y=kx的图象经过点P(3，-1)，则k的值为( D )
A．3 B．-3 C． D．-
2. 下列函数中，图象经过原点的为( C )
A．y=5x+1 B．y=-5x-1
C．y=- D．y=
3.如果函数y=(3m-1)x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ A ）
(A) (B)
(C) m > 1 (D)m < 1
4.若函数 为正比例函数，则m=( -1 ),
5.在正比例函数y=4x中， y随x的增大而（增大 ）。在正比例函数 中， y随的增大而（ 减小 ）。21世纪教育网版权所有
6、任意写一个图象经过二、四象限的正比例函数的解析式为 （ y=-6x ）。
7.已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时， △ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；
正比例函数
（2）当x=7时，求出y的值。
当x=7时，y=4×7=28
六、应用提高
1、下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。问：21·cn·jy·com
（1）正比例函数的解析式；
（2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上；
（3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
解:（1）设所求的正比例函数的解析式为S=kt，
把t =4，S =2代入，得 2=4t。
解得 k= 0.5。
所以，所求的正比例函数的解析式是S=0.5t。
（2）由已知，得30≤t≤40,
∴ 30≤2S≤40
即15 ≤S≤20。
由图可知中巴车行使在贺村至淤头公路上。
（3）由已知，得20≤S≤22,
即40≤t≤44。
∴ 20≤0.5t≤22
所以从8：40至8：44，该车行使在淤头至礼贤公路上。
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、画函数图像的步骤。
2、正比例函数的性质。
七、布置作业
教材85页习题第3、4题。
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一次函数的图像（第一课时）
班级：___________姓名：___________得分：__________
填空选择题（每小题5分，40分）
1.当时，与的函数解析式为，当时，与的函数解析式为，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )21教育网
2.如图所示，你认为下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1
4.如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A．B，则m的取值范围是（ ）www.21-cn-jy.com
A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0
5．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项 中k值可能是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6. 关于函数，下列结论正确的是( )
A.函数图象必经过点（1，2）
B.函数图象经过第二、四象限
C.y随x的增大而增大
D.不论x取何值，总有y＞0
7. 下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有( )个．
①y=x；②y=-2x+1；③y=-；④y=3x2．
A．0 B.1 C.2 D.3
8.下面所给点的坐标满足y=-2x的是()
A.（2，-1）
B.（-1，2）
C.（1，2）
D.（2，1）
二、解答题（每小题15分，60分）
1.已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．
2．一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图
(1)农民自带的零钱有多少元？
(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
3、已知点P（x,y）是第一象限内的点，且x+y=8，点A的坐标为（10，0）。设△OAP的面积为S。21世纪教育网版权所有
求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
4.一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．21cnjy.com
（1）写出表示y与x的函数关系式．
（2）指出自变量x的取值范围．
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
参考答案
选择题
1. C
【解析】
X>0时，图像为
X≤0时，图像为
2． C
【解析】
越靠近y轴，|y|越大
所以，
因为随x增大y减小，所以小于0
3.D.
【解析】 将点（m，n）代入函数y=2x+1，的到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，n=2m+1，整理得，2m﹣n=﹣1．故选D．
4.B
【解析】∵函数图象经过二．四象限，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故选B．
5．B
【解析】根据图象，得2k＜6，3k＞5，
解得k＜3，k＞， 所以＜k＜3．
只有2符合．
故选B．
6. C
【解析】：A、把（1，2）代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k=＞0，图象经过一三象限，故本选项错误；
C、k=＞＞0，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、当x＜0时y＜0，故本选项错误．
故选C21·cn·jy·com
7.C
【解析】①此函数是正比例函数，k=1＞0，y随x的增大而增大，故正确；
②此函数是一次比例函数，k=-2＜0，y随x的增大而减小，故错误；
③此函数是反比例函数，k=-1＜0，在每一象限内y随x的增大而增大，故正确；
④此函数是二次函数，a=3＞0，对称轴是y轴，x＜0时，y随x的增大而减小，故错误．
故答案为：2．
8. B
【解析】用代入法即可．
解：A、当x=2时，y=-4，错误；
B、当x=-1时，y=2，正确；
C、当x=1时，y=-2，错误；
D、错误．
故选B．【来源：21·世纪·教育·网】
二、解答题
1．解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．
∵它图象经过点P（﹣1，2）， ∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x． 又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3）， ∴m+3=2m． ∴m=3．2·1·c·n·j·y
2．(1)自带10元零钱 (2)降价前售价为1．2元/千克
(3)降价后共售土豆 =20千克
降价前已售30千克．所以共带50千克土豆．
3.解∵P（x,y）在第一象限内，∴x>0,y>0。过点P作PM⊥OA于M，则PM=y。
∵x+y=8,
∴y=8-x.
∴S= OA PM= ×10×（8-x）,
即S=-5x+40.x的取值范围是04．解：（1）根据题意，每行程x，耗油0.11x，即总油量减少0.11x，
则油箱中的油剩下50﹣0.11x，
∴y与x的函数关系式为：y=50﹣0.1x；
（2）因为x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能为负数，即x≥0；
又行驶中的耗油量为0.1x，不能超过油箱中现有汽油量的值50，
即0.1x≤50，解得，x≤500．
综上所述，自变量x的取值范围是0≤x≤500；
（3）当x=200时，代入x，y的关系式：
y=50﹣0.1×200=30．
所以，汽车行驶200km时，油桶中还有30L汽油．
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一次函数的图像
（第一课时）
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
1、在下列函数
2、函数有哪些表示方法
图象法、列表法、关系式法
是一次函数的是 ，是正比例函数的是 .
(2),(4)
(2)
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系
课前回顾
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
课前预习
y
5
x
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
6
-6
M(4,3)
试在平面直角坐标系中画出点M(4,3)
试一试
画出正比例函数y=2x的图象．
情境引入
请同学们想一想,怎么才能得到图象上的一部分点呢
为此,我们首先要取一些自变量x的值,求出对应的
函数值y,那么以(x,y)为坐标的点就是函数图象上的点.为了表达方便,我们可以列表来表示x和y的对应关系.
探究1
列表:取自变量的一些值,求出对应的函数值,填入表中.
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
关系式法
列表法
探究1
y=2x
描点:分别以表中对应的x、y为横纵坐标,在坐标系中描出对应的点.
探究1
连线:用光滑的线把这些点依次连接起来.
探究1
y=2x
一条直线
我们是如何得到y=2x的图像？
画出一次函数y=-2x的图象
⑴先列表：
⑵再描点连线
1. 列表
作函数图象的步骤
2. 描点
3. 连线
x
y=2x+1
4
2
0
-2
-4
…
…
-2
-1
0
1
2
…
…
练习1
-1
2
-1
-2
1
3
x
y
3
4
2
1
5
0
-2
-3
画图象的步骤可以概括为三步:
列表
描点
连线
这种画函数图象的方法叫做描点法.
归纳
(1)作出一次函数y=-3x的图象.
(2) 在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和
纵坐标,并验证它们是否都满足关系y=-3x.
-1
2
-1
-2
1
3
3
4
2
1
5
x
y
-3
0
y=-3x
x
y=-3x
0
-1
0
3
(-1.5,4.5)
(-0.5,1.5)
做一做
满足
( 2 ) 正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足
它的关系式吗
( 3 ) 正比例函数y=kx的图象有什么特点
( 1 ) 满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)是
否都在它的图象上
议一议
在
满足
一条直线
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这点与原点画直线就可以了（两点法）。
总结
下列各点哪些在函数y=x的图象上？
A (-1.5, -2.5)
B ( 3, 3 )
C ( 1, 0)
D (0, 1)
练习2
y
5
x
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
6
-6
A (-1.5, -2.5)
B ( 3, 3 )
（B）
C ( 1, 0)
D (0, 1)
1.在同一坐标系中作出正比例函数 y=-0.5x y=x ,y=3x和y= -4x 的图象
探究2
（1）. 列表
y=x y=3x y=-0.5x y= -4x
x 0 0 0 0
y 0 0 0 0
x 1 1 1 1
y 1 3 -0.5 -4
-6
o
-4
4
6
2
4
6
-2
-2
-4
x
y
2
y=-0.5x
y=x
y=3x
y=-4x
探究2
（2）. 描点
（3）. 连线
图像作好了,请同学们观察图像回答下面的问题.
想一想
（1）上面的函数都是什么函数？
（2）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
正比例函数
正比例函数y=kx的图象是经
过原点（0，0）的一条直线
(3)你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？
（4）直线y=-0.5x ,y=x ,y=3x和y= -4x中，哪一个与 x轴正方向所成的锐角最大？哪一个与x轴正方向所成的锐角最小？
两个
y=-4x最大 y=0.5x最小
想一想
上述四个函数中,随着自变量x值的增大,y的值分别如何变化
在正比例函数y=kx中，
当k>0时，y的值随着x值得增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值得增大而减小;
议一议
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=-0.5x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
y=3x增加的更快，因为|k|值更大
y=-4x减小的更快，因为|k|值更大
想一想
y=kx 图 象 性 质
K>0 y
x
K<0
经过一、三象限y随x增大而增大
经过二、四象限y随x增大而减小
y
x
图像必经过（0，0）和（1，k）这两个点
总结
1、关于函数y= -3x，图象经过二 、四 象限,y随x的增
大而 减小 ，函数的图像 不经过（经过，不经过）
点（-1，-3）
2、关于函数y= 2x，图象经过 一、三 象限,y随x的增
大而 增大 ，函数的图像 不经过 （经过，不经过）
点（-1，2）
3 、正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个正比
例函数的解析式为 y = 2x 。
练习3
1.函数y=kx的图象经过点P(3，-1)，则k的值为( )
A．3 B．-3 C． D．-
D
2.下列函数中，图象经过原点的为( )
A．y=5x+1 B．y=-5x-1
C．y=- D．y=
C
达标测试
3．如果函数y=(3m-1)x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）
(A) (B)
(C) m > 1 (D)m < 1
A
4、若函数 为正比例函数，则m=( ),
5、在正比例函数y=4x中， y随x的增大而（ ）。在正比例函数 中， y随的增大而（ ）。
6、任意写一个图象经过二、四象限的正比例函数的解析式为 （ ）。
-1
增大
减小
y=-6x
7.已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时， △ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
当x=7时，y=4×7=28
正比例函数
下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。问：
（1）正比例函数的解析式；
（2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上；
（3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
江山
贺村
淤头
礼贤
14千米
6千米
2千米
应用提高
解:（1）设所求的正比例函数的解析式为S=kt，
（2）由已知，得30≤t≤40,
把t =4，S =2代入，得 2=4t。
解得 k= 0.5。
所以，所求的正比例函数的解析式是S=0.5t。
∴ 30≤2S≤40
即15 ≤S≤20。
由图可知中巴车行使在贺村至淤头公路上。
（3）由已知，得20≤S≤22,
∴ 20≤0.5t≤22
即40≤t≤44。
所以从8：40至8：44，该车行使在淤头至礼贤公路上。
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、画函数图像的步骤。
2、正比例函数的性质。
布置作业
教材85页习题第3、4题。
