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双峰一中高一数学必修三教案
课题
§3.3.1几何概型（一）
课型
新课
教学目标
（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.
教学过程
教学内容
备注
一、自主学习
自主预习阅读教材P135－136，回答下列问题：1．几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
(面积或体积)成
，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型．(2)计算公式．在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：P(A)＝
.
二、质疑提问
数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！
三、问题探究
知识探究（一）：几何概型的概念思考1：
某班公交车到终点站的时间可能是11:30～12:00之间的任何一个时刻；
往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.
这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型.
参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.知识探究（二）：几何概型的概率对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？
思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？P(A)=
例1
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.(假设电台整点报时)思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？由此能说明什么问题？概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.
例2
在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.假设正方形边长为2，正方形内豆子数为n,圆内豆子数为m.例3 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2
所围成的图形的面积.以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.例4.在一边长为2的正六边形的纸片上，有一个半径为R的半圆孔，随机向该纸片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的概率为，则R=_________.
四、课堂检测
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（
）
A．0.5
B．0.4
C．0.004
D．不能确定2.在△ABC内取一点Ｐ,则△ABP与△
ABC的面积之比大于三分之二的概率为_________.3.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站，求汽车在1~3分钟之间到达的概率.4.假设车站每隔
10
分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过
3
分钟的概率.练习答案：1、C
2、
3、
4、0.3
五、小结评价
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.
利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.
用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.
利用计算机和线性变换Y=X
(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.5
如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.6
几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.P(A)=
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双峰一中高一数学必修三教案
课题
补充：分类计数原理与分步计数原理
课型
新课
教学目标
(1)理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；(2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：(3)通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；
教学过程
教学内容
备注
一、自主学习
（一）分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的办法（二）分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn种不同的办法
二、质疑提问
实例引入1.
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有3＋2＝5种不同的走法．
三、问题探究
问题探究（一）分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的办法．对于分类计数原理，注意以下几点：⑴从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；⑵分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法．2.
从甲地到乙地，先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地．一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有3×2＝6种不同的走法．问题探究（二）分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn种不同的办法．对于分步计数原理，注意以下几点：⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成
n
个步骤后这件事才算完成．两个原理的相同之处：⑴目的相同：都要“做一件事并完成它”⑵所问相同：即问“共有几种不同方法”两个原理的不同之处：分类计数用于分类，各类间独立、互斥．各类中任何一种方法都能够独立完成这件事．分步计数原理用于分步，步步相扣，缺一不可，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．例1
书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书．⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：⑴N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9．
(分类计数原理)
⑵N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24．(分步计数原理)例2
一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9这10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？3．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位数字是统一的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？例3
要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
4．从5位同学中产生1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？
四、课堂检测
1．填空：⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人
会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件
工作，不同选法的种数是有
9种．(分类计数原理)
5＋4=9⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C
村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走法的种数是
6种
．(分步计数原理)
3×2=62．现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名．⑴从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？⑵从三个年级的学生中各选1人参加外宾的活动，有多少种不同的选法？(1)
3＋5＋4=12
(分类计数原理)⑵
3×5×4=60
(分步计数原理)
五、小结评价
（１）分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么？不同点什么？相同点：它们都是研究完成一件事情,
共有多少种不同的方法；不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事；分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。（２）分类加法原理、分布乘法原理的特点是什么 加法原理：完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.乘法原理：完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.
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双峰一中高一数学必修三教案
课题
§3.3.2几何概型（二）
课型
新课
教学目标
（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
教学过程
教学内容
备注
一、自主学习
二、质疑提问
三、问题探究
一、概率与线性规划的交汇问题1假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，求P(A).2.
甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.3.
将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？二、抽取与分组问题2.
在一个盒中装有6支圆珠笔.其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，问下列事件的概率有多大？(1)
恰有一支一等品；(2)
恰有两支一等品；(3)
没有三等品.【答案】（1）
（2）
（3）3.
柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率，并说明它们的关系：(1)
取出的鞋不成对；(2)
取出的鞋都是左脚的；(3)
取出的鞋都是同一只脚的；(4)
取出的鞋是一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对.三、概率与方程、函数的交汇问题
四、课堂检测
1.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2，6]内的均匀随机数，需实施的变化为（
）（A）
（B）
（C）
（D）2．某班有45个人，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲的机会有多大？练习提示C提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。（1）用1~45的45个数来替代45个人；（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；（3）整理数据并填入下表试
验次
数50100150200250300350400450500600650700750800850900100010501出现的频数1出现的频率（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会.
五、小结评价
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目.3.注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解.
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