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一元二次方程的解法（二）
配方法
北京四中
例1：面积为240的矩形中，长比宽多8，求矩形的两边。
练习：填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=（x+
）2
（2）x2-6x+
=（x-
）2
（3）x2+8x+
=（x+
）2
（4）x2-x+
=（
）2
（5）x2+px+
=（
）2
配方法：
通过配成完全平方式形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
配方的依据：完全平方公式
练习：
例2：
练习：
例3：
配方法的基本步骤：
1、
将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数
2、
移项：将常数项移到等号一边；
3、
配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方
4、等号左边写成（
）2的形式；
5、开平方：化成一元一次方程
6、解一元一次方程；
易错点:用配方法解一元二次方程时,二次项系数不是1时易出错.
例如：用配方法解方程
错解1：移项，得
两边同除以2，得
配方，得
错解2：移项，得
两边同除以2，得
错解3：移项，得
两边同除以2，得
配方，得
避免错误,必须理解配方法的过程及道理,理解等式的性质。
例4：用配方法说明：
代数式
x2+8x+17的值总大于0.
变式训练1：求代数式
x2+8x+17的最小值
变式训练2：若把代数式改为2
x2+8x+17又怎么做呢？
易错点:将代数式配方与方程配方混淆.
方程ax2+bx+c=0(a≠0)两边除以a所得方程
的解与原方
程相同,而二次三式ax2+bx+c
,各项除以a所得二次三项式
与原式值不同,所以化
二次三项式系数为1时方程与代数式的方法不能混
淆.
练习（1）的最小值是
（2）的最大值是
小结梳理：
1.
配方法的依据;
2.
配方法解一元二次方程的基本步骤;
3.
配方法的应用;
4.
体会配方法在数学中是一种重要的数学变形,它隐含了创造条件实现化
归的思想.
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一元二次方程知识点和题型总结
北京四中
一、知识与技能的总结
（一）概念
一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高
次数是2”．
一元二次方程的一般形式——，按未知数x
降幂排列
方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方
程的根的个数．
（二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解
1．直接开平方法——适用于
的方程．
2．配方法——适用于所有的一元二次方程；
3．公式法——适用于
的方程．反映了一元二次方程的根
与系数的关系，
（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数
a、b、c；
（2）先求出的值，
若，则代入公式
．
若，则
；
4．因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的依据是：
．
通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，
将一元二次方程转化为求两个
方程的解．
（三）其它知识方法
1．根的判别式：，是解方程的
过程中产生的
（1）若，则方程有
解；
（2）若，则方程有
解；
（3）若，则方程有
解；
2．换元法
（1）；
（2）1+x+x(1+x)=3
（3）
（4）
3．可化为一元二次方程的分式方程
解方程
二、典型题型汇总
（1）
一元二次方程的概念
1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般
形式：
（1）（2）
2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值）
(1)
关于x的方程,
当
时为一元一次方程；当
时为一元二次方程.
(2)若分式，则
3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）
(1)关于的一元二次方程有一个根为0，
则
(2)已知关于的一元二次方程有一个根为1，
一个根为，则
，
(3)已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根
的相反数是方程的一个根，则方程的根为
，c=
（二）用适当的方法求解下列方程
（三）一元二次方程的根的判别式（1）
1．为何值时，关于x的二次方程
（1）满足
时,方程有两个不等的实数根
（2）满足
时,方程有两个相等的实数根
（3）满足
时,方程无实数根
2．已知关于的方程，如果，那么此方程的根
的情况是（
）．
A．有两个不相等的实根
B．有两个相等的实根
C．没有实根
D．不能确定
3．已知关于的方程有实根，则的取
值范围是（
）．
A．
B．且
C．
D．
4．对任意实数m，求证：关于x的方程
无实数根.
5．设为整数，且时，方程
有两个相异整数根，求的值及
方程的根.
一元二次方程的根的判别式（2）
在整式一章中学习二次三项式的因式分解时，曾经遇到过这样
的问题：三项式（其中a、b、c为有理数），满足什么条件时，
它可以在有理数范围内因式分解？
例如：下列多项式可在有理数范围内分解因式
一个多项式在给定数集内能否进行因式分解，是与当这个多项式的值为0时，
该方程在给定的数集内是否有解是密不可分的，例如上面举的例子中方程
结论：
推论：
1.
判断下列二次三项式能否在有理数范围内分解因式？如果不能，说明
理由；如果能，请将它分解因式
2.
判断下列字母系数k的二次三项式，能否分解因式？如果不能，说明
理由；如果能，请将它分解因式
结论：
注意：
3.
利用一元二次方程求根公式，在实数范围内分解因式
（四）根系关系
若中，有，则有：
=
=
可推出：=
；
=
；
根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题：
1．如果是、是方程的两个根，则的值为（
）．
A．1
B．17
C．6.25
D．0.2521世纪教育网版权所有
（五）一元二次方程的应用
（一）数字问题
1．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这三个数．
（二）图形问题
2．已知一个凸多边形共有对角线35条，求这个凸多边形的边数．
（三）经济问题
3.
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.
为了尽快减少
库存，商场决定采取适当的降价措施.
经调查发现，每件商品每降价1元，
商场平均每天可多售出
2件．设每件商品降价x元.
据此规律，
请回答：
（1）商场日销售量增加
件，每件商品盈利
元（用含x
的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商
场日盈利可达到2100元？
（四）记数问题
4．某小组的同学毕业之前互赠像片，每个同学都得到其他同学每人一张
像片，经过组长统计，共需洗像片90张，问这个小组有多少同学？
（五）匀变速运动问题
5．一颗子弹射出枪口时的速度是800米/秒，这支枪的枪筒长0．64米，
若把子弹在枪筒中的运动看作均匀加速运动，
（1）子弹经过枪筒的时间是多少？
（2）在枪筒内子弹平均每秒速度增加多少？
（3）子弹在枪筒内穿行一半路程时大约用多少时间（保留三位有效数字）？
（六）综合问题
粗心的小野和小静在一起做作业，小野做完作业后，出门来到楼
下发现错拿了小静的橡皮，于是想将橡皮抛上去，要小静在楼上接，已知小
静的手距地面的高度为5.6米，小野上抛的橡皮的高度与时间的关系
为．试问小静有几次接橡皮的机会，证明你的结论．
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一元二次方程的解法（三）
公式法和因式分解法
北京四中
复习：
1．直接开平方法：
2．配方法：
为少犯配方时计算错误，一般这样配方，
例如：用配方法解方程：
把二次项系数化为1，得：
把常数项移到等号的右边：
方程两边同时加上一次项系数一半的平方：
配方，计算要准确：
两边开平方：
移项：
正确写出原方程的解：
一、求根公式法
探索：我们来解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）
解：因为a≠0，方程两边都除以a，得
．
移项，得．
配方，得，
即．
因为a≠0，所以4＞0，
当＜0时，方程无实数根；
当≥0时，直接开平方，得
．
所以，
即．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
法2：4
a2x2＋4abx＋4ac＝0
＋2·2ax·b＋b2＝b2-4ac
(2ax+b)2=
b2-4ac
由以上研究的结果，得到了一元二次方程a＋bx＋c＝0的求根公式：
．
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得
方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．
例1：用公式法解方程
练习：用公式法解方程：（1）；
（2）；
（3）．
例2：解关于的方程；
练习：解关于的方程；
小结：
公式法——适用于
的方程．反映了一元二次方程的根与
系数的关系，
（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数
a、b、c；
（2）先求出的值，若，则代入公式
．
若，则
；
例3：解方程：
二、因式分解法
依据：（A、B至少一个为0）
先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一
次式分别等于0，从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．所有学
过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．注意：
（不确定A、B的值）．
例4：用因式分解法求解下列方程：
（1）
(2)
．
（3）；
（4）；
练习：
（1）；
（2）；
例5：
总结：
1．
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不
为
0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0
(a≠0）
2．一元二次方程的解法：
（1）
直接开平方法：是以平方根为基础的一种解一元二次方程的方法
（2）
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一
元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一
般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，
即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边
都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；
⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程
无解．
（3）
公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是
通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是
(b2－4ac≥0)，步骤是：（1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0；
（2）计算代数式b2－4ac的值；（3）当b2－4ac≥0由求根公式写出方程的
解，当b2－4ac<0时方程无实根。
（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因
式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法
的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘
积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方
程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴
在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含
有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，
当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵
应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的
一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，
则代人求根公式，求出x1
,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶
方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）
中，不能随便约去（x＋4）
⑷
注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须
熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式
法．
一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法．但所有解法都是通
过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次．
（5）解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证
解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，
以保证结论的准确性．
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一元二次方程及解法（一）
直接开平方法
北京四中
引入
1、求直线y=2x与双曲线y=6/x的交点。
2、设计一座2m高的人体雕像，使上部（腰以上）与下部高度比
等于下部与全部高度比问下部设计有多高？
1．
一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高
次数是2（2次）的整式方程，叫做一元二次方程．
例1：判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦．
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于的一元二次方程，都能化成形如
，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．
注意：一元二次方程,b、c可以为0
例2：
是关于x的一元二次方程的条件是（
）
A.
a,
b,
c为任意实数
B.
a,
b不同时为零
C.
a不为零
D.
b,
c
不同时为零
例3：将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项
系数和常数项：
（1）；
（2）．
3、一元二次方程的解
例4：方程
x2-2x-2=0的两个根为（
）
A.
B.
C.
练习：
1.（1）关于x的方程是一元二次方程，
则m
；
关于x的方程是一元一次方程，
则m
；
（2）关于x的方程是一元二次方程，则
m
；
类似：是一元二次方程，则m=
；
（3）关于x的方程的一次项系数是-1，
则a
；
2.（1）x=1是的根，则a=
.
（2）已知关于x的一元二次方程
有一个根是
0，
求m的值.
3.
解方程：（1）；（2）；（3）．
（5）
（6）
形如的一元二次方程，采取整体直接开平方的方法求
根．
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一元二次方程
根的判别及根与系数的关系
北京四中
知识回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
1.一元二次方程的求根公式是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
1）当b2-4ac≥0时，它的根是
;
2）当b2-4ac<0时，方程无实数根.
2.用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
1)把方程化为一般形式
2)确定
a，b，c的值
3)计算b2-4ac，并判断其值与0的关系
4)若
b2-4ac≥0，利用求根公式
,
计算方程的根;
若
b2-4ac＜0，方程无实数根.
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
1)当b2-4ac≥0时，它的根是
;
2）当b2-4ac＜0时，方程无实数根.
谁决定了一元二次方程根的情况？
（一）一元二次方程根的判别式
我们把
b2-4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，
用符号“
△
”来表示.
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根
当△=
0时，方程有两个相等的实数根
当△＜0时，方程没有实数根
反之，当方程有两个不相等的实数根时，△＞0
当方程有两个相等的实数根时，△=
0
当方程没有实数根时，△＜0
例1：不解方程，判别方程根的情况.
（1）2x2
-6x-5
=
0
（2）2x2
=
12x-18
（3）
3x2-5x
=
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一般步骤：
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
2、计算△的值，确定△的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
例2：不解方程，判别方程根的情况.
例3：m为任意实数，试说明关于x的方程
x2-（m-1）x-3（m+3）=
0恒有两个不相等的实数根.
练习：已知：a、b、c为实数，求证：关于x的一元二次程
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0恒有实数根。
例4:(1)已知：关于x的方程有两个不相等的实
数根,求k的取值范围.
2)已知：关于x的方程有实数根.求k的取值
范围.
例5.
已知：函数，求y的取值范围.
（二）一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
结论1．如果的两个根是，
那么：x1+x2=
；x1x2=
结论2．如果的两个根是，
那么：
x1+x2=
；x1x2=
例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积．
问题：通过前面的学习，你认为在使用此规律时应该注意什么？
（1）要先把一元二次方程化成标准型；
（2）Δ≥0；
（3）注意“-”号．
例2：已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．
例3：不解方程，求方程的两个根的（1）平方和；
（2）倒数和．
例4：关于方程的两根的说法正确的是（
）
A.
B.
C.
D.无实数根
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一元二次方程的应用
北京四中
1．重点是能列一元二次方程解决某些实际问题，并且归纳各类实际问题的
数学模型和其使用的解法．
2．难点是列出解决实际问题的一元二次方程，并且根据实际意义对方程的
根进行检验和取舍．
1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，
连续整数等形式。
例1.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，
求这个两位数.
2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找
等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
例2.已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的
两个根，求△ABC的周长.
练习．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做
成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段
后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长
度；若不能，请说明理由．
3.
增长率问题（下降率或打折）：在此类问题中，一般有变化前的基数
（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之
间的关系可以用公式表示。(但是不鼓励学生盲目套公式，
要认真审题，分析清楚问题与已知之间的联系，逐层推导，列出方程)
例3.某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如
果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.
小结：
4、传播问题
例4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染
中平均一个人传染了几个人？
思考：（1）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
（2）轮以后呢？
小结：
例5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小
分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
小结：
推广：
5.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍
去）。
例6（销售）．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件
盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降
价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件
，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
例7（行程）．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，
甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度
每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距
千米？
例8．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹
车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
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