人教版九年级上册同步教学习题课件：24.1.2 垂直于弦的直径

课件14张PPT。九年级数学·上 新课标 [人]第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径
24.1　圆的有关性质〔解析〕求OP长的取值范围,实际就是找OP长的最大值和最小值，最大值为半径,最小值应是圆心到AB的距离.如图24 - 17(2)所示,连接OA,过点O作OC⊥AB于C，则AC= AB=4.在Rt△AOC中，
OA=5，∴
∴OC≤OP≤OA,即3≤OP≤5. 应用垂径定理解决最值问题考查角度1　利用垂径定理和垂线段最短解决问题如图24 - 17(1)所示，☉O的直径是10，弦AB=8，P是弦上的一个动点，那么OP长的取值范围是　　　　 .图24 - 17【解题归纳】　圆心与弦的最小距离是圆心到弦的垂线段的长度.根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,是解答此题的关键. 3≤OP≤51.(2015·岳池模拟)如图所示，☉O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为 (　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5C考查角度2　利用垂径定理解决线段和最短问题例2　(张家界中考)如图24 - 18所示，
AB，CD是半径为5的☉O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为　　　　.?〔解析〕　如图24 - 19所示,连接OA，OB，OC，BC，作CH垂直AB于H.根据垂径定理,
得BE= AB=4，CF= CD=3，∴OE=
OF= ∴CH=OE+OF=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.在直角三角形BCH中,根据勾股定理得BC= ， 则PA+PC的最小值为 . 【解题归纳】　当直径垂直于圆的一条弦时,直径所在的直线是这条弦的垂直平分线,同时,圆的任意一条直径所在的直线均为圆的对称轴.本题利用圆的对称性和垂径定理把PA+PC的最小值转化为BC的长.2.(东营中考)如图，在☉O中，AB是☉O的直径，AB=8 cm， M是AB上一动点，CM+DM的最小值为　　　　cm.?[提示:如图56所示,过点C作CE⊥AB交☉O于点E，连接ED，EM，由圆的对称性知EM=CM，EM+DM>DE,当点M运动到AB与DE的交点时，CM+DM的值最小，最小值为圆的直径8 cm.] 8利用垂径定理解决实际问题例3把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外，其截面如图24 - 20所示，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则☉O的半径为多少厘米?解:过点O作OM⊥AD于点M，连接OF，如图24 - 20所示.设OF=x，则OM=16-x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2,即(16-x)2+82=x2,解得x=10.答:☉O的半径为10厘米.
3.温州是著名水乡,河流遍布整个城市.某河流上建有一座美丽的石拱桥(平面图如图所示).已知桥
拱半径OC为5 m,水面宽AB为 m,则石拱桥
的桥顶到水面的距离CD为 (　　) [提示:连接OA，∵CD⊥AB，∴AD=BD= AB= ×4
=2 .在Rt△OAD中，OA=5 m,AD=2 m,∴OD=
=1(m)，∴CD=OC+OD=5+1=6(m).]A. m　　　 B.7 m
C. m　　 D.6 mD在Rt△OPD中，∵OP= ，OD=3，
∴PD= =2，
又∵点P在第一象限，∴点P的坐标为(3，2). 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用例4(广州中考)如图24 - 21所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，☉P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6,0)，☉P的半径为 ，则点P的坐标为　　　　.?图24 - 21〔解析〕　如图24 - 21所示，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A(6,0)，PD⊥OA，∴OD= OA=3.(3，2)4.如图所示，半径为6的☉E在平面直角坐标系中，与x轴交于A,B两点，与y轴交于C，D两点，且点E在第四象限，已知C(0，3)，D(0，-7)，求圆心E的坐标.解:如图57所示,过点E作EN⊥x轴于点N，作EM⊥y轴于点M，连接DE.∵C点的坐标为(0，3)，D点的坐标为(0，-7)，∴CD=3-(-7)=10，又∵EM⊥CD，∴MD= CD=5.在Rt△DEM中，由勾股定理得EM= .∵四边形OMEN为矩形，∴EN=OM=OD-MD=7-5=2.又∵点E在第四象限，∴圆心E的坐标为( ，-2). 利用“分类讨论”解圆中的计算问题 已知AB,CD为☉O的两条平行弦，☉O的半径为5 cm，AB=8 cm，CD=6 cm，求弦AB，CD间的距离.〔解析〕　由于题目中只说弦AB,CD平行,没有说明这两条弦与圆心的位置关系,因此需要对两弦与圆心的位置关系进行讨论.例5例5所以OE= =3(cm).所以OF= =4 cm.解:分两种情况:①当AB，CD在圆心O的同侧时，如图(1)所示，过O作OF⊥CD于点F，OF交AB于点E.连接OA，OC.因为AB∥CD，所以OE⊥AB.因为OF⊥CD，CD=6 cm，所以CF= CD=3 cm.在Rt△OCF中，因为OC=5 cm，CF=3 cm，因为OE⊥AB，AB=8 cm，所以AE= AB=4 cm.在Rt△OAE中，因为OA=5 cm，AE=4 cm，所以EF=OF-OE=4-3=1(cm).②当AB,CD在圆心O的两侧时,如图(2)所示，过O作OF⊥CD于点F,OF的反向延长线交AB于点E，连接OA，OC.因为AB∥CD，所以OE⊥AB.所以EF=OE+OF=3+4=7(cm).综上所述，弦AB,CD间的距离为1 cm或7 cm.同① ，可得OE=3cm,OF=4cm.在Rt△AOE中, OE=
∴OF=OE+EF=5+7=12.在Rt△OCF中, CF=
∴CD=2CF=2×5=10. 5.(牡丹江中考)在半径为13的☉O中，弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为 (　　)A.10B.4C.10或4 D.10或2 [提示:当AB与CD在圆心O的同侧时，如图(1)所示，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E,连接OA，OC.∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE= AB= ×24=12.当AB与CD在圆心O的两侧时，如图(2)所示.
过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于
点E，连接OA，OC，CF= ,OE= =5，∴OF=EF-OE=7-5=2.在Rt△AOE中，在Rt△OCF中，∴CD=2CF=2× =2 .故CD的长为10或2 .]∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，
∴AE= AB= ×24=12.