人教版九年级上册同步教学课件：24.1.4 圆周角

课件22张PPT。第二十四章 圆24.1.4 圆周角
24.1　圆的有关性质九年级数学·上 新课标 [人]〔解析〕　欲证AF=CF，只需证明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是 所对的圆周角.而由条件可知 ，因此只需找出 所对的圆周角是否与∠ACF相等即可.而构造
所对的圆周角需要连接BC，此时恰好构造了直径所对的圆周角∠ACB,也可以延长CD交圆于点H,由垂径定理可得 ，则问题得解;还可以连接OC，根据CD⊥AO，CO⊥AE得到∠DCO=∠DAE，进而得到∠FCA=∠CAF，则可得AF=CF.圆周角定理的综合应用考查角度1　利用圆周角定理证明两线段(或两弧)相等如图24 - 47所示，AB是☉O的直径,C是 的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC.求证AF=CF.证法1:连接BC,如图24 -48 所示.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF.又∵点C是 的中点,∴ ∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAE，∴AF=CF.证法2:如图24 - 49所示，延长CD交☉O于点H.∵AB是直径,CD⊥AB,∴ 又∵点C是 的中点,∴ ，∴ ，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.证法3:连接OC，如图24 - 50所示.∵ ，OC过圆心，∴CO⊥AE，∴∠COD+∠OAE=90°.∵CD⊥OA，∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠DAE.∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FCA=∠CAF，∴AF=CF.【解题归纳】　(1)在圆中通过“连接”构造同弧或等弧所对的圆周角是常用的辅助线作法.(2)在已知条件中,若有与半径或直径垂直的线段,常延长此线段与圆相交,这样可利用垂径定理得线段相等或弧相等.证明:(1) ∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得 ，∴BD=CD.1.如图所示，AD为△ABC外接圆的直径，
AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线
交AD于点E，连接BD，CD.
(1)求证BD=CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上，并说明理由.解:(2) B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由如下:如图67所示，由(1)知 ，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE.由(1)知BD=CD，∴DB=DE=DC.
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 考查角度2　圆周角与平面直角
坐标系的综合应用例2如图24 - 51所示,已知CO,CB是☉O'的弦，
☉O‘与平面直角坐标系的x轴、y轴分别相交于点B,O和A，O，若∠COB=45°，∠OBC=75°,点A的坐标为(0，2)，求☉O'的直径.〔解析〕　连接AB,由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°,所以AB是圆的直径,利用三角形的内角和定理易求得∠C=60°,再根据圆周角定理可得∠OAB=∠OCB=60°,从而可以在Rt△AOB中求出AB的长.解:连接AB，如图24 - 51所示.∵∠AOB=90°，∴AB是圆的直径 ，∵∠BOC=45°，∠OBC=75°,
∴∠OCB=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°,∵A点坐标为(0，2)，∴AO=2.
在Rt△AOB中，AB=2OA=4，
∴☉O'的直径AB的长度为4.【解题归纳】　本题考查了三角形的内角和定理和圆周角定理的运用,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形,并且利用圆周角定理确定AB是圆的直径.[提示:如图68所示,连接BC，
∵B(8，0),C(0,6)，∴OB=8， OC=6. ∵∠BOC=90°，
∴ =10，
且BC为直径，则☉A的半径为5.]
2.(自贡中考)如图所示，在平面直角坐标系中，☉A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则☉A 的半径为 (　　)
A.3　　B.4　　C.5　　D.8C圆内接四边形与垂径定理的综合应用例3如图24 - 52所示，四边形ABCD的四个顶点都在☉O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证2OF=CD. 〔解析〕作直径AG,再连接BG,利用三角形中位线定理可得2OF=BG,只需证明BG=CD.证明:如图24 - 52所示，过A点作直径AG，连接BG，CG.∵AG为☉O的直径，∴∠ACG=90°，∴CG⊥AC.∵BD⊥AC，∴BD∥CG，∴∠DBC=∠BCG，∴ ，∴DC=BG.∵OF⊥AB，∴AF=BF.又∵AO=OG，∴OF是△ABG的一条中位线，∴2OF=BG.∴2OF=CD.【解题归纳】　在圆中遇到中点,且要证一条线段的长度是另一条线段长度的2倍时,常作的辅助线是三角形的中位线.证明:(1) ∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，
∴ ，∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC.
又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=ID.∴BD=DC=DI.
3.如图所示，点A，B，C都在☉O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.
(1)求证BD=DC=DI；(2)若圆O的半径为10 cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积.又由圆的对称性可知∠OBD= ∠CBD=30°.延长CO交BD于E，则CE⊥BD.由题意知OB=10 cm，又∠OBE=30°，∴在Rt△OBE中，OE= OB= ×10=5(cm)，∴BE= (cm)，∴BD=2BE=10 cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，∴S△BDC= ×BD×CE= ×10 ×15=75 (cm2).解:(2) 当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外，连接OB,OD,OC，
则∠DOC=∠BOD=∠BOC=120°，∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，
∴△BDC为正三角形.如图24 - 53所示，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是 上一点(不与C,D重合),求证∠CPD=∠COB；
(2)点P‘在劣弧CD上(不与C,D重合)时，∠CP'D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.运用圆心角、圆周角的性质探究角的关系例4〔解析〕本题两个需证明的结论都是圆心角与圆周角的关系,故可考虑应用同弧(等弧)所对的圆心角、圆周角关系进行证明.证明:(1)连接OD，如图(1)所示.∵AB是直径，AB⊥CD，∴ . ∴∠COB=∠DOB= ∠COD.又∵∠CPD= ∠COD，∴∠CPD=∠COB.解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如图 (2)所示，连接OD.∵∠CPD+∠CP‘D=180°，∠COB=∠DOB= ∠COD，又∵∠CPD= ∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP'D+∠COB=180°.4.圆上两条弦AB,CD所在直线
交于点P,则AB,CD之间夹的
弧为 , .若 所对的
圆周角为m°, 所对的圆周
角为n°,如图所示三种情况,
AB,CD的夹角∠APC与m°,n°之间的关系式是什么?解:①如图69所示，当AB，CD的交点P在圆内时,连接BC，
则有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.②当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重合， 所对的圆周角的度数变成0°，即n=0，则∠APC=m°.③如图70所示，当AB,CD的交点P在圆外时，连接BC(不妨认为m>n)，
则有∠ABC=∠APC+∠DCB，
∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.　圆周角定理及其推论的综合运用例5如图24 - 55所示,已知AB是☉O的一条弦,点C为 的中点,CD是☉O的直径,过点C的直线l交AB所在直线于点E,交☉O于点F.
(1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并写出结论;
(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合),在旋转过程中,点E、点F的位置也随之变化,请你在图24 - 55的两个备用图中分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应字母,选其中一个图形给予证明.〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点E在线段AB上.(2)点E在线段BA的延长线上；(3)点E在线段AB的延长线上.解:(1)∠CEB=∠FDC.理由如下:∵CD是☉O的直径，点C为 的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直径，∴∠CFD=90°.
∴∠FDC+∠ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.(2)如图24 - 56所示.答案不唯一.选择图(2)证明如下:∵CD是☉O的直径，点C为 的中点，∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直径,∴∠CFD=90°.∴∠FDC+ ∠ ECD =90°. ∴ ∠CEB =∠FDC.5.如图所示，△ABC的三个顶点在☉O上，
AD⊥BC，D为垂足，E是 的中点，
求证∠OAE=∠EAD.(写出两种以上的证
明方法)证法1:如图71所示,连接OB，
则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC,∴∠OAB= (180°-∠AOB)=90°- ∠AOB=90°-∠ACB=∠DAC.∵E是 的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD.证法2:如图72所示，连接OE，∵E是 的中点，∴ ，∴OE⊥BC.
∵AD⊥BC，∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD.
∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠EAD.