人教版九年级上册同步教学课件：24.3 正多边形和圆

课件13张PPT。第二十四章 圆24.3 正多边形和圆
九年级数学·上 新课标 [人]圆内接正多边形的相关计算圆内接正六边形的边长为4 cm，求同圆中内接正三角形和正四边形的周长.〔解析〕在同一个圆中涉及三个正多边形，要建立它们边长之间的关系，关键是求这个圆的半径.解:如图24 - 109所示，正六边形ABCDEF内接于☉O，连接OC，OD，则△OCD为正三角形，
∴OC=OD=CD=4 cm，∴☉O的半径为4 cm.连接AC，则AC为☉O内接正三角形的一边，
作OG⊥AC于G.在Rt△COG中，OG= OC= ×4=2(cm)，∴x=4 .
∴该正方形的周长为4x=4×4 =16 (cm).∴所求的正三角形的周长为4 ×3=12 (cm).又☉O的直径是该圆内接正方形的对角线，
设该正方形的边长为x cm，
则由勾股定理得x2+x2=82，1.半径为R的圆内接正三角形的面积是 (　　)B.πR2D 如图24 - 110所示，求中心为原点，
顶 点A，D在x轴上，半径为2 cm的正六边
形ABCDEF的各个顶点的坐标.有关正多边形的综合运算例2〔解析〕连接OE，并设EF交y轴于点G，由于正六边形是轴对称图形，那么∠GOE=30°，则在Rt△OGE中，可得点E的坐标，则点E关于y轴对称的点F的坐标就可求出，其他坐标类似可求出.解:如图24 - 111所示，连接OE，
设EF交y轴于点G.由于正六边形是轴对称图形，
∴在Rt△OGE中，∠GOE=30°，OE=2，
∴GE=1.由勾股定理，得OG= .
∴正六边形ABCDEF的各个顶点的坐标分别为
A(-2，0)，B(-1，- )，C(1，- )，D(2，0)，E(1，
)，F(-1， ).
2.(常德中考)阅读理解:如图(1)所示，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ，m)称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用:在图(2)的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为(　　)
A.(60°，4) 　　 B.(45°，4)
C.(60°，2 ) D.(50°，2 )[提示:如下图所示，设正六边形的中心为D，
连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°，4).]
2.(常德中考)阅读理解:如图(1)所示，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ，m)称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用:在图(2)的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为(　　)
A.(60°，4) 　　 B.(45°，4)
C.(60°，2 ) D.(50°，2 )A圆内接正多边形的规律探究题例3 图24 - 112(1)(2)分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.
(1)求图24 - 112(1)中，重叠部分面积与阴影部分面积之比.
(2)求图24 - 112(2)中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接写出答案).
(3)根据前面探索和图24 - 113，你能否将本题推广到一般的正n边形情况(n为大于2的偶数)?若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.解:(1)如图(1)所示，连接OA，OB，
过点O作OM⊥AB，垂足为M.∵点O是正方形ABCD外接圆的圆心，
∴OA=OB.∵四边形ABCD是正方形，∴OM= AB，S△ABO= S正方形ABCD，∠OAF=∠OBE=45°.又∵∠AOF+∠A′ OB=∠A ′ OB+∠BOE=90°，
∴∠AOF=∠BOE.∴△AOF≌△BOE，∴S△AOF=S△BOE，∴重叠部分的面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF
=S△ABO= S正方形ABCD，∴S阴影= S正方形ABCD，∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.(2)重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶2.(3)能.两个相同的正n边形(n为大于2的偶数),其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆的圆心处,则重叠部分与未重叠部分的面积比为(n-2)∶(n+2).
3.如图所示，点M，N分别是☉O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.(1)求图(1)中的∠MON的度数;
(2)在图(2)中，∠MON的度数为　　，在
图(3)中，∠MON的度数为　　;?
(3)在图(n)中，试探索∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系.(直接写出答案)解:(1)连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于☉O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∴∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°　72°(3)∠MON=90°72°