人教版九年级上册同步教学课件：24.4 弧长和扇形面积
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上册同步教学课件：24.4 弧长和扇形面积 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 389.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-12 11:10:30 | ||
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文档简介
课件15张PPT。第二十四章 圆24.4 弧长和扇形面积九年级数学·上 新课标 [人] 〔解析〕 点P运动的路径长为圆心角为60°，半径分别为12，10，8，6，4，2的扇形弧长的和，即路径长为：应用弧长公式解决运动轨迹问题 (日照中考)如图24 - 130所示，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间
拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，
握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母
上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为 ( )
A.13π cm B.14π cm C.15π cm D.16π cm【解题归纳】 对整个运动过程进行分析，弄清点P所走过的路线，关键是要确定每一次旋转的旋转中心及旋转半径，正确画出路径，找出半径的变化规律，然后运用弧长公式求出几段路径的弧长之和.B1.(兰州中考)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C，则点B转过的路径长为 ( ) [提示:在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，可得AC=1，由勾股定理可得BC= ，由旋转知点B转过的路径是一段圆弧，其所对的圆心角为60°，利用弧长公式得 .]B求不规则图形的面积考查角度1利用旋转求不规则图形的面积例2(学科内综合题)如图24 - 131所示，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直角，点C在AD上，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转n(0＜n＜180)度后恰好与△ADE重合.
(1)请直接写出n的值；
(2)若BC= ，求线段BC在上述旋转过程中所扫过的部分的面积.〔解析〕(1)AB和AD的夹角是n°，由△ABC是等腰直角三角形可求出n的值.(2)如图24 - 132所示，若设BC扫过的部分的面积为S，则S=
S扇形ABD-S△ABC+S△ADE-S扇形ACE=S扇形ABD-S扇形ACE.解:(1)n=45.(2)设在旋转过程中，线段BC所扫过的部分的面积(即图24 - 132中阴影部分的面积)为S，
则S=S扇形ABD-S△ABC+S△ADE-S扇形ACE.又∵S△ABC=S△ADE，∴S=S扇形ABD-S扇形ACE.
在Rt△ABC中，BC= ，∠BAC=45°，∠BCA=90°，∴由勾股定理，可得AB=又∵AC=BC=2.(2015·乐山中考)如图所示，已知A( ，2)，B( ，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A'(-2， )的位置，则图中阴影部分的面积为 .?[提示:由题意知旋转了90°，
所以n=90，通过割补易得S阴=S扇形OAA'-S扇形OBB'=考查角度2 利用整体思想求不规则图形的面积例3如图24 - 133所示，☉A，☉B，☉C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为 ( ) A.π B. π
C.2π D. π 设∠A=α°，∠B=β°，∠C=γ°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴阴影部分的面积=〔解析〕B【解题归纳】 解决本题的关键不是求出三角形三个内角的度数，而是应用整体思想求出三个内角的和，然后根据扇形面积公式计算.3.某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 ( )
A.6π m2 B.5π m2
C.4π m2 D.3π m2A∴CD= .∴S△DCO= CO·DC= ，(2015·鄂尔多斯中考)如图24 - 134所示，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，∠AOB=90°，半径OA=4米，C是OA的中点，点D在 上，CD∥OB，则图中种植黄花(即阴影部分)的面积是 (结果保留π). ?考查角度3 利用割补法求阴影部分的面积例4〔解析〕 如图24 - 135所示，连接DO，DA，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴∠DCO=90°.∵C是OA的中点，∴DC是AO的垂直平分线.∴DA=DO.∵OD=OA，∴AO=DO=AD.∴△AOD是等边三角形，∴∠DOA=60°.又在Rt△DCO中，OD=4，∴OC=2，∵S扇形OAD= ，∴S阴影= S扇形OAD-S△DCO=【解题归纳】 求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，割补法是常用的方法之一，即通过分割或补形，把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化.
4.(泰安中考)如图所示，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ( ) C.1 cm2[提示:如图95所示，设以OB为直径的半圆的圆心为O1，以OA为直径的半圆的圆心为O2，连接O1C，O2C，易知OO1=O1C=O2C=OO2=1 cm.又∠AOB=90°，则四边形O1CO2O为正方形，其面积为1 cm2.A〔解析〕 ∵CD⊥AB，CD= ，∴∠AEC =∠OED=90°，CE=DE= .∵∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠ODE=30°，∴OE= OD.考查角度4 等积变形法求阴影部分的面积例5 如图24 - 136所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于E，∠C=30°，CD= ，则S阴影等于 ( )
A.π B.2π C. D. 在Rt△ODE中，由勾股定理易得OD=2，
∴ S扇形OAD= .在△ACE和△ODE中，∠AEC=∠OED，CE=DE，∠C=∠ODE，∴△ACE≌△ODE， ∴S阴影=S扇形OAD= .D[提示:如图96所示，连接OC，OD，∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°.
∵AB∥CD，∴S△ACD=S△COD.
∴S阴影=S扇形OCD= ] 5.如图所示，半圆的直径AB=10，弦CD∥
AB，且∠CAD=30°，则图中阴影部分的面积为 .?则2π·2= ，∴n=120，即∠APA'=120°，则∠APB=60°.连接AB，AD，则△APB为等边三角形.∵D是PB的中点，∴AD⊥PB.∴AD= ，
∴蚂蚁爬行的最短路程为 .利用圆锥的侧面展开图求最短距离如图24 - 137所示，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )A. B.2 C.3 D.3〔解析〕 如图24 - 138所示，将圆锥的侧面展开，由 的长求∠APA'的度数，设∠APA'的度数为n°，例6C解:如图97所示，将圆锥的侧面展开得到扇形SAA'，则这条公路的最短路程是AC'的长.在Rt△OBS中，∵OB=4千米,OS= 千米，∴SB= =16千米,∴SA=16千
米,SC' =8千米， =8π千米.设圆心角∠ASA'的度数为n°，则8π= ，解得n=90，∴∠ASA'=90°.在Rt△ASC'中，AC' = 千米.答:这条公路的最短路程为 千米.6.如图所示,有一座大山，大致呈圆锥形,底面半径为4千米,山高为 千米,在山坡SA中点C处有一联络站，要从山脚A修一盘山路，绕山坡一周将物资运往C处，这条公路的最短路程是多少?图97
拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，
握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母
上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为 ( )
A.13π cm B.14π cm C.15π cm D.16π cm【解题归纳】 对整个运动过程进行分析，弄清点P所走过的路线，关键是要确定每一次旋转的旋转中心及旋转半径，正确画出路径，找出半径的变化规律，然后运用弧长公式求出几段路径的弧长之和.B1.(兰州中考)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C，则点B转过的路径长为 ( ) [提示:在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，可得AC=1，由勾股定理可得BC= ，由旋转知点B转过的路径是一段圆弧，其所对的圆心角为60°，利用弧长公式得 .]B求不规则图形的面积考查角度1利用旋转求不规则图形的面积例2(学科内综合题)如图24 - 131所示，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直角，点C在AD上，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转n(0＜n＜180)度后恰好与△ADE重合.
(1)请直接写出n的值；
(2)若BC= ，求线段BC在上述旋转过程中所扫过的部分的面积.〔解析〕(1)AB和AD的夹角是n°，由△ABC是等腰直角三角形可求出n的值.(2)如图24 - 132所示，若设BC扫过的部分的面积为S，则S=
S扇形ABD-S△ABC+S△ADE-S扇形ACE=S扇形ABD-S扇形ACE.解:(1)n=45.(2)设在旋转过程中，线段BC所扫过的部分的面积(即图24 - 132中阴影部分的面积)为S，
则S=S扇形ABD-S△ABC+S△ADE-S扇形ACE.又∵S△ABC=S△ADE，∴S=S扇形ABD-S扇形ACE.
在Rt△ABC中，BC= ，∠BAC=45°，∠BCA=90°，∴由勾股定理，可得AB=又∵AC=BC=2.(2015·乐山中考)如图所示，已知A( ，2)，B( ，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A'(-2， )的位置，则图中阴影部分的面积为 .?[提示:由题意知旋转了90°，
所以n=90，通过割补易得S阴=S扇形OAA'-S扇形OBB'=考查角度2 利用整体思想求不规则图形的面积例3如图24 - 133所示，☉A，☉B，☉C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为 ( ) A.π B. π
C.2π D. π 设∠A=α°，∠B=β°，∠C=γ°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴阴影部分的面积=〔解析〕B【解题归纳】 解决本题的关键不是求出三角形三个内角的度数，而是应用整体思想求出三个内角的和，然后根据扇形面积公式计算.3.某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 ( )
A.6π m2 B.5π m2
C.4π m2 D.3π m2A∴CD= .∴S△DCO= CO·DC= ，(2015·鄂尔多斯中考)如图24 - 134所示，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，∠AOB=90°，半径OA=4米，C是OA的中点，点D在 上，CD∥OB，则图中种植黄花(即阴影部分)的面积是 (结果保留π). ?考查角度3 利用割补法求阴影部分的面积例4〔解析〕 如图24 - 135所示，连接DO，DA，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴∠DCO=90°.∵C是OA的中点，∴DC是AO的垂直平分线.∴DA=DO.∵OD=OA，∴AO=DO=AD.∴△AOD是等边三角形，∴∠DOA=60°.又在Rt△DCO中，OD=4，∴OC=2，∵S扇形OAD= ，∴S阴影= S扇形OAD-S△DCO=【解题归纳】 求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，割补法是常用的方法之一，即通过分割或补形，把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化.
4.(泰安中考)如图所示，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ( ) C.1 cm2[提示:如图95所示，设以OB为直径的半圆的圆心为O1，以OA为直径的半圆的圆心为O2，连接O1C，O2C，易知OO1=O1C=O2C=OO2=1 cm.又∠AOB=90°，则四边形O1CO2O为正方形，其面积为1 cm2.A〔解析〕 ∵CD⊥AB，CD= ，∴∠AEC =∠OED=90°，CE=DE= .∵∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠ODE=30°，∴OE= OD.考查角度4 等积变形法求阴影部分的面积例5 如图24 - 136所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于E，∠C=30°，CD= ，则S阴影等于 ( )
A.π B.2π C. D. 在Rt△ODE中，由勾股定理易得OD=2，
∴ S扇形OAD= .在△ACE和△ODE中，∠AEC=∠OED，CE=DE，∠C=∠ODE，∴△ACE≌△ODE， ∴S阴影=S扇形OAD= .D[提示:如图96所示，连接OC，OD，∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°.
∵AB∥CD，∴S△ACD=S△COD.
∴S阴影=S扇形OCD= ] 5.如图所示，半圆的直径AB=10，弦CD∥
AB，且∠CAD=30°，则图中阴影部分的面积为 .?则2π·2= ，∴n=120，即∠APA'=120°，则∠APB=60°.连接AB，AD，则△APB为等边三角形.∵D是PB的中点，∴AD⊥PB.∴AD= ，
∴蚂蚁爬行的最短路程为 .利用圆锥的侧面展开图求最短距离如图24 - 137所示，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )A. B.2 C.3 D.3〔解析〕 如图24 - 138所示，将圆锥的侧面展开，由 的长求∠APA'的度数，设∠APA'的度数为n°，例6C解:如图97所示，将圆锥的侧面展开得到扇形SAA'，则这条公路的最短路程是AC'的长.在Rt△OBS中，∵OB=4千米,OS= 千米，∴SB= =16千米,∴SA=16千
米,SC' =8千米， =8π千米.设圆心角∠ASA'的度数为n°，则8π= ，解得n=90，∴∠ASA'=90°.在Rt△ASC'中，AC' = 千米.答:这条公路的最短路程为 千米.6.如图所示,有一座大山，大致呈圆锥形,底面半径为4千米,山高为 千米,在山坡SA中点C处有一联络站，要从山脚A修一盘山路，绕山坡一周将物资运往C处，这条公路的最短路程是多少?图97
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