2.3 变量间的相关关系 同步练习3（含答案）

2.3
变量间的相关关系
同步练习
一、选择题
1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝bx＋a，那么下面说法不正确的是(　　)
A．直线＝bx＋a必经过点(，)
B．直线＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝bx＋a的斜率为
D．直线＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
[答案]　B
[解析]　由a＝－b
知＝－b
＋bx，∴必定过(，)点．
回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，但不一定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．
2．下列说法正确的是(　　)
A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小
B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小
C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小
D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大
[答案]　C
3．已知变量x与y正相关，且由观测数手工艺居算得样本的平均数＝2.5，＝3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为(　　)
A．＝0.4x＋2.3
B．＝2x－2.4
C．＝－2x＋9.5
D．＝－0.3x＋4.4
[答案]　A
[解析]　∵y＝bx＋a，正相关则b＞0，∴排除C，D.∵过中点心(，)＝(3，3.5)，∴选A.
4．根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A.a＞0，b＜0
B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0
D．a＜0，b＞0
[答案]　A
[解析]　由于x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，故选A.
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
[答案]　B
[分析]　由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，然后结合该方程对x＝6时的销售额作出估计．
[解析]　样本点的中心是(3.5，42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
6．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A．＞b′，＞a′
B．＞b′，＜a′
C．＜b′，＞a′
D．＜b′，＜a′
[答案]　C
[分析]　先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由，的计算公式分别求解，的值，即可作出比较．
[解析]　由两组数据(1，0)和(2，2)可求得直线方程为y＝2x－2，从而b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，
所以＜b′，＞a′.
二、填空题
7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
[答案]　0.254
[解析]　由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
8．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．
[答案]　68
[解析]　＝＝10，＝＝40，因为回归方程一定过点(，)，
所以＝＋，则＝－＝40＋2×10＝60.
则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
9．改革开放30年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：
城市：＝2.84x＋9.50；
县镇：＝2.32x＋6.67；
农村：＝0.42x＋1.80.
根据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的大学入学率增长最快．按同样的增长速度，可预测2010年，农村考入大学的百分比为________%.
[答案]　城市　10.2
[分析]　增长速度可根据回归直线的斜率来判断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．
[解析]　通过题目中所提供的回归方程可判断，城市的大学入学率增长最快；2010年农村考入大学的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2.
三、解答题
10．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析]　(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．
11．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺损零件数y(个)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析]　先作出散点图，再根据散点图判断y与x呈线性相关，从而建立回归直线方程求解．
解：(1)作散点图如图所示．
(2)由散点图可知y与x线性相关．故可设回归直线方程为＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438.
∴b＝≈0.73，a＝－b≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.
∴所求回归直线方程为＝0.73x－0.875.
(3)令＝10，得0.73x－0.875＝10，解得x≈15.
即机器的运转速度应控制在15转/秒内．
12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千克)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，
其中，为样本平均值．
[分析]　(1)根据线性回归方程求相关的量后，代入公式即可求得回归方程；(2)观察线性回归方程的系数
可判断是正相关还是负相关；(3)将x＝7代入线性回归方程即可求得预报变量，即该家庭的月储蓄．
[解析]　(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n
＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千克)．