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1.1.2
四种命题与四种命题的相互关系
教案
教学目标
知识与技能：了解原命题、逆命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
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过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．21cnjy.com
教学重点与难点
重点：(1)会写四种命题并会判断命题的真假；(2)四种命题之间的相互关系．
难点：(1)命题的否定与否命题的区别；
(2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
(3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
教具准备：与教材内容相关的资料.
教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．www.21-cn-jy.com
教学过程
学生探究过程：
1．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件与结论之间分别有什么关系？
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．2·1·c·n·j·y
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．【来源：21·世纪·教育·网】
3．归纳总结
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，(1)和(2)这样的两个命题叫做互逆命题，(1)和(3)这样的两个命题叫做互否命题，(1)和(4)这样的两个命题叫做互为逆否命题.21·世纪
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4．抽象概括
定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．www-2-1-cnjy-com
让学生举一些互逆命题的例子.
定义2：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．2-1-c-n-j-y
让学生举一些互否命题的例子.
定义3：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．21
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让学生举一些互为逆否命题的例子.
小结：
(1)
交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2)
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3)
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的.
5．四种命题的形式
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．(说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p)21·cn·jy·com
逆否命题：若￢q，则￢P．
6．巩固练习
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
(1)
若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
(2)
若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
(3)
若x2=1，则x=1；
(4)
若整数a是素数，则是a奇数.
7．思考、分析
结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真.
②原命题为真，它的否命题不一定为真.
③原命题为真，它的逆否命题一定为真.
原命题为假时类似.
结合以上练习完成下列表格
：
原
命
题
逆
命
题
否
命
题
逆
否
命
题
真
真
假
真
假
真
假
假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
8．总结归纳
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
9．例题分析
例4：证明：若p2
＋
q2
＝2，则p
＋
q
≤
2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明.
将“若p2
＋
q2
＝2，则p
＋
q
≤
2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p
+
q
＞2，则p2
+
q2
≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．21世纪教育网版权所有
证明：若p
＋
q
＞2，则
p2
＋
q2＝［(p
－q)2＋(p
＋q)2］≥(p
＋q)2＞×22＝2
所以p2＋q2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.
练习巩固：证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1．
10：教学反思
(1)逆命题、否命题与逆否命题的概念；
(2)两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
(3)两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
(4)原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价.
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1.1
命题及其关系(二)
教案
【教学要求】
进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
【教学重点】
四种命题的概念及相互关系.
【教学难点】
四种命题的相互关系.
教学过程：
一、复习准备：
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：
(1)矩形的对角线互相垂直且平分；
(2)函数有两个零点.
二、讲授新课：
1.
教学四种命题的概念：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
若，则
若，则
若，则
若，则
①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.
例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)正弦函数是周期函数；
(3)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
2.四种命题的相互关系
①讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系.
结论一：原命题与它的逆否命题同真假；
结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
②例2：，则.(利用结论一来证明)
3.
小结：四种命题的概念及相互关系.
三、巩固练习：
1.
练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.
(1)函数有两个零点；(2)若，则；
(3)若，则全为0；
(4)全等三角形一定是相似三角形；
(5)相切两圆的连心线经过切点.
2.
作业：教材P9页 第2(2)题 P10页 第3(1)题
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