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3.1.3
导数的几何意义
学案
【学习目标】
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.
【自主学习】
1.如图课本77页1.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？曲线在点P处的切线概念如何定义？割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？切线PT的斜率为多少？归纳导数的几何意义是什么？
2.求曲线在某点处和过某点的切线方程的基本步骤是什么？
3.什么是导函数？函数在点处的导数、导函数、导数
之间的区别与联系是什么？
【自主检测】
1．求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1，2)处的切线方程______________.
2．求函数y=3x2在点处的导数______________.
3．求函数y=3x2在点处的导函数______________.
【典型例题】
例(1)求曲线在点的切线方程；
(2)求抛物线过点的切线方程.
(3)若曲线上一点P处的切线恰好平行于直线y=11x－1，求P点坐标.
【课堂检测】
1.已知曲线和点A(1，0)，求过A点的曲线的切线方程(
).
或
或
或
或
2.设函数，曲线在点处的切线方程为．
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【总结提升】
1．在定义了曲线在某一点处的切线的基础上给出函数在某一点处的导数的几何意义，即函数的图像在该点的切线的斜率；
2．会求曲线在某点处的切线方程；
3．注意区分曲线“在”与
“过”某点处的切线方程.
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3.1.3
导数的几何意义
学案
【学习目标】：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系.
2．理解曲线的切线的概念.
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.
【学习重点】：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义
【学习难点】：
导数的几何意义
【问题导学】
回顾：
1.什么是函数y=f(x)在x=x0处的导数？并求导数的步骤？
2.阅读教材观察第77页图3.1-2探究如下问题：
(1)当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
(2)什么叫曲线在某一点的切线？和圆的切线定义有什么区别？
(3)割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
(4)切线PT的斜率为多少？
3.导数的几何意义：
由2题的分析可得：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率即k==
【实践演练】
例1：求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1，2)处的切线斜率和切线方程
思考：曲线在某点处的切线方程的基本步骤？
练习：1.求曲线y=f(x)=x3在点处的切线方程.
2.已知曲线在点M处的切线斜率为，求点M的坐标.
例2：(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
思考：本题主要运用了什么解题思想？曲线在某处的导数小于0说明什么问题？大于0呢？
例4.见课本第78页通过例3当t变化时，是否是t的函数？你能得出导函数的概念吗？
怎样表示？从求在处的导数的过程中可看到，当时，是一个________.当变化时，便是的一个________，称它为的导函数(简称导数)，的导函数有时也记作
，即________.21世纪教育网版权所有
【基础练习】
1.过点A(2，8)作抛物线的切线，则在A处的切线斜率为
(
)
(A)4
(B)8
(C)16
(D)2
2.曲线在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为(
)
A．(-2，-8)
B(-1，-1)或(1，1)
C(2，8)
D
3.下列点中，在曲线上，且在此点处的切线倾斜角为的是
(
)
A
(0，0)
B(2，4)
C
D
4.求
(2)已知曲线，求曲线上点(1，2)处切线的斜率.
5.若曲线的一条切线平行于直线，求切点坐标和切线的方程.
6.已知曲线C:
求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程.
第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
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