3.4
生活中的优化问题举例
同步练习
一、选择题
1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c
B．3a＋4b＋c
C．3a＋2b
D．c
3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( )
A．x＝1时，取得极大值
B．x＝1时，取得极小值
C．x＝－1时，取得极大值
D．无极值点
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图3－3－7所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图3－3－7
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：
图3－3－8
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－
)内单调递增；
(2)函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
(3)函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
(4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
(5)当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．
三、解答题
9．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.
10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
11．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？3.4
生活中的优化问题举例
同步练习
一、选择题
1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10
B．15
C．25
D．50
2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( )
A．6千台
B．7千台
C．8千台
D．9千台
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R
B．2R
C．R
D．R
6．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．
[答案] 15cm 15cm
[解析] 设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．
9．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2?1，该长方体的最大体积是________．
三、解答题
10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
