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3.4
生活中的优化问题举例
学案
【学习目标】
会用导数的相关知识解决生活中的优化问题
【学习重点】
会用导数的相关知识解决生活中的优化问题
【学习难点】
会用导数的相关知识解决生活中的优化问题
【实践演练】
典型例题：
例1.现在让你设计一张海报，要求版心面积为128，上下两边各空2dm，左右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？2·1·c·n·j·y
例2.百事可乐制造并出售球形瓶装的可乐，瓶子的制造成本是0.8分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每售出1mL的可乐，制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子最大半径为6cm.
问：(1)瓶子半径多大的时候，能使每瓶可乐的利润最大？
(2)瓶子半径多大的时候，每瓶可乐的利润最小？
基础练习：
1.一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？21·cn·jy·com
2.圆柱形金属饮料罐容积是V，当它的高和半径是多少的时候，才能使所用材料最省？
3.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是(
)
A．1秒末
B．0秒
C．4秒末
D．0，1，4秒末
4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06－0.15
和L2=2，其中为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(
)
A．45.606
B．45.6
C．45.56
D．45.51
5.路灯距地平面为8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min
的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直
线离开路灯，则人影长度的变化速率为(
)
A．
B．
C．
D．21
6.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车
向北行驶，速率为30
km/h，B车向东行驶，速率为40
km/h，那么A、B两车间直线距离的增加速率为
(
)21教育网
A.50km/h
B.60
km/h
C.80
km/h
D.65
km/h
7.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y
＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为____________．21cnjy.com
拓展提升：
8.当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=+t-t21·世纪
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(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度；
(2)细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？
9.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为：，且生产x吨的成本为(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润=收入─成本)www.21-cn-jy.com
10.一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【来源：21·世纪·教育·网】
11.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40
km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50
km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？21世纪教育网版权所有
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3.4
生活中的优化问题举例
学案
【学习目标】
1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
2．提高将实际问题转化为数学问题的能力.
【自主学习】
1.什么是优化问题？
2．利用导数解决生活中的一些优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题，一般应怎么做？，则问题转化为导数问题，解题中应该注意什么？21世纪教育网版权所有
3.
探究课本101页海报版面尺寸的如何设计？
4.
探究课本102页饮料瓶大小如何对饮料公司利润的影响？
5.探究课本103页磁盘的最大存量问题？
6.解决优化问题的基本思路是什么？
【自主检测】
1．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水升高的瞬时速度是_________.21cnjy.com
【典型例题】
例1．在边长为60
cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？21·cn·jy·com
【课堂检测】
1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为(
)
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
2.已知某商品生产成本C和产量Q的函数关系为C=100+4Q，单价P与产量Q的函数关系式为P=25-Q，求产量Q为何值时，利润L最大？
3.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x).21教育网
(1)如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)www.21-cn-jy.com
(2)如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？2·1·c·n·j·y
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