3.3.1 函数的单调性与导数 教案

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3.3.1
函数的单调性与导数
教案
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教学重点：
利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点：
利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学过程：
一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．21世纪教育网版权所有
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．21·cn·jy·com
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
(2)
从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在
点处的切线的斜率．
在处，，切线是“左下右上”式的，
这时，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，
这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：(1)特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数；
(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
(1)；
(2)
(3)；
(4)
解：(1)因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5(1)所示．
(2)因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5(2)所示．
(3)因为，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5(3)所示．
(4)因为，所以
．
当，即
时，函数
；
当，即
时，函数
；
函数的图像如图3.3-5(4)所示．
注：(3)、(4)生练
例3
如图3.3-6，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：以容器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，(A)符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．21教育网
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？21cnjy.com
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，
那么函数在这个范围内变化的快，
这时，函数的图像就比较“陡峭”；
反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，
在或内的图像“平缓”．
例4
求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：证明可导函数在内的单调性步骤：
(1)求导函数；
(2)判断在内的符号；
(3)做出结论：为增函数，为减函数．
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3－6x2+7
2.f(x)=+2x
3.
f(x)=sinx
，
x
4.
y=xlnx
2.已知函数
在区间上是增函数，求实数的取值范围．
五．回顾总结
(1)函数的单调性与导数的关系
(2)求解函数单调区间
(3)证明可导函数在内的单调性
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