2.1.1 合情推理 课件2
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课件47张PPT。 推理与证明第二章2.1.1 合情推理第二章1.能结合已学过的数学实例和生活中的实例，分析合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理．
2．会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
难点：1.能运用合情推理进行简单推理．
2．认识合情推理在数学发现中的作用.
思维导航
在以前的数学学习中，我们曾经由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n－2)·180°.
这种猜想方法是否具有一般性，这样得出的结论是否一定是正确的？这种方法在认识发现中有何作用？归纳推理新知导学
1．归纳推理
由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由_____到______、由______到_______的推理．
2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般归纳推理思维导航
在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具有性质：“已知n、m∈N*，若n＋m＝2p，则an＋am＝2ap”，作出猜想：“对于等比数列{an}，若n、m∈N*，n＋m＝2p，则am·an＝a”，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？类比推理
新知导学
3．类比推理
由两类对象具有____________________和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有__________的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由____________的推理．
某些类似特征某些已知特征这些特征特殊到特殊
4．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据__________________，经过__________________________，再进行______、_______，然后提出_______的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．已有的事实观察、分析、比较、联想归纳类比猜想
5．归纳推理是由部分到______，由具体到_______，由特殊到_______，从个别事实中概括出__________的思维模式．
类比推理是在________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在____________之处的一种推理模式．
类比推理是由_______到_______的推理．整体抽象一般一般结论两类不同相同或相似特殊特殊牛刀小试
3．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“据子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[答案] B
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．[答案] D
[解析] 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故从2010到2012与从2到4的方向一致，故选D.
5．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为________．
[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
[解析] 第1个等式有1项，从1开始；
第2个等式有3项，从2开始；
第3个等式有5项，从3开始；
第4个等式有7项，从4开始．
每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
数式中的归纳推理
[方法规律总结] 1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论
2归纳推理的基本逻辑形式是：
S1是(或不是或具有性质)P，
S2是(或不是或具有性质)P，
S3是(或不是或具有性质)P，
……
Sn是(或不是或具有性质)P.
∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.
2．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．数列中的归纳推理 [分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．
[解析] (1)考察相邻两数的差：
5－1＝4，9－5＝4，
13－9＝4，17－13＝4，
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.[方法规律总结] 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．若an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)．且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
[解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*).归纳推理在图形中的应用 A．26 B．31
C．32 D．36
[分析] 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．[答案] B[方法规律总结] 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．
[答案] 16 3n＋1
[解析] 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10， 13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根.类比推理 [分析] 解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．[方法规律总结] 类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
(3)检验这个猜想
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．
找出三角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质：
(1)三角形任意两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质：
①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：
2．会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
难点：1.能运用合情推理进行简单推理．
2．认识合情推理在数学发现中的作用.
思维导航
在以前的数学学习中，我们曾经由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n－2)·180°.
这种猜想方法是否具有一般性，这样得出的结论是否一定是正确的？这种方法在认识发现中有何作用？归纳推理新知导学
1．归纳推理
由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由_____到______、由______到_______的推理．
2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般归纳推理思维导航
在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具有性质：“已知n、m∈N*，若n＋m＝2p，则an＋am＝2ap”，作出猜想：“对于等比数列{an}，若n、m∈N*，n＋m＝2p，则am·an＝a”，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？类比推理
新知导学
3．类比推理
由两类对象具有____________________和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有__________的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由____________的推理．
某些类似特征某些已知特征这些特征特殊到特殊
4．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据__________________，经过__________________________，再进行______、_______，然后提出_______的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．已有的事实观察、分析、比较、联想归纳类比猜想
5．归纳推理是由部分到______，由具体到_______，由特殊到_______，从个别事实中概括出__________的思维模式．
类比推理是在________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在____________之处的一种推理模式．
类比推理是由_______到_______的推理．整体抽象一般一般结论两类不同相同或相似特殊特殊牛刀小试
3．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“据子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[答案] B
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．[答案] D
[解析] 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故从2010到2012与从2到4的方向一致，故选D.
5．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为________．
[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
[解析] 第1个等式有1项，从1开始；
第2个等式有3项，从2开始；
第3个等式有5项，从3开始；
第4个等式有7项，从4开始．
每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
数式中的归纳推理
[方法规律总结] 1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论
2归纳推理的基本逻辑形式是：
S1是(或不是或具有性质)P，
S2是(或不是或具有性质)P，
S3是(或不是或具有性质)P，
……
Sn是(或不是或具有性质)P.
∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.
2．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．数列中的归纳推理 [分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．
[解析] (1)考察相邻两数的差：
5－1＝4，9－5＝4，
13－9＝4，17－13＝4，
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.[方法规律总结] 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．若an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)．且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
[解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*).归纳推理在图形中的应用 A．26 B．31
C．32 D．36
[分析] 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．[答案] B[方法规律总结] 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．
[答案] 16 3n＋1
[解析] 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10， 13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根.类比推理 [分析] 解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．[方法规律总结] 类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
(3)检验这个猜想
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．
找出三角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质：
(1)三角形任意两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质：
①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：