2.2.1 综合法和分析法 课件1

课件46张PPT。　推理与证明第二章2.2.1　直接证明与间接证明
　综合法与分析法第二章
1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法．分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异.
重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．
难点：综合法和分析法的应用.
新知导学
1．定义
利用__________和某些数学______、______、______等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法证明不等式已知条件定义定理公理推理论证2．综合法的特点
从“已知”看“_______”，逐步推向“_______”，其逐步推理，是由______导________，实际上是寻找“已知”的________条件．
可知未知因果必要
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__________”和有效的__________是有效利用综合法证明数学问题的关键．切入点推理途径3．综合法的基本思路
用______表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，_____表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为PQ
牛刀小试
1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[证明]　因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.新知导学
4．分析法定义
从要证明的______出发，逐步寻求使它成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法分析法证明不等式 结论充分
5．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_____”，执果索因，逐步靠拢“_______”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_______条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．
需知已知充分6．分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”，从待征结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用_______表示要证明的结论，则分析法的推理形式为P7．分析法与综合法的区别与联系
(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的________条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是________法．充分综合
分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：_______找思路，_______写过程．
在实际证题中，常将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法．分析综合[答案]　D
[解析]　∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.[答案]　b[方法规律总结]　1.综合法证明数学命题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．分析法的应用
[方法规律总结]　分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[分析]　不等式恒成立问题，可以转化为函数的最值问题来解决．综合法和分析法的综合应用 [解析]　要证x≥0时，sinx≤x，
只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．
设f(x)＝sinx－x，则即证x≥0时，f(x)≤f(0)．
即证x≥0时，f(x)的最大值小于或等于0.(*)
∵f(x)＝sinx－x，
∴f′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立．
∴原不等式成立．
[方法规律总结]　在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程．设a、b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根．
[解析]　要证明(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根，
只需证△＜0即可．
∵△＝(4ab)2－4(a2＋b2)·2ab
＝16a2b2－8a3b－8b3a＝8ab(2ab－a2－b2)
＝－8ab(a2－2ab＋b2)＝－8ab(a－b)2.
∵a、b是相异的正数，
∴ab＞0，(a－b)2＞0，∴－8ab(a－b)2＜0，
∴该一元二次方程没有实数根．[辨析]　这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．