2.2.2 反证法 课件1
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课件44张PPT。2.2.2
反 证 法1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法. ( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理. ( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾. ( )【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.
(3)正确.否定结论导出矛盾就是反证法的实质，从而肯定原结论.
答案:(1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知a≠0，证明关于x的方程ax=b有且只有一解，适宜用
证明.
(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b
至少有一个能被5整除”，则假设的内容是 .
(3)用反证法证明命题“如果a>b，则 ”时，假设的
内容是 .【解析】(1)当直接证明比较困难时，可以采用反证法，本题即
属于此类型，需用反证法证明比较合适.
答案:反证法
(2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b至少有一
个能被5整除的否定是a，b都不能被5整除.
答案:a，b都不能被5整除 与 的关系有三种情况: > ， =
和 < ，所以“ > ”的反设应为“ =
或 < ”，即“ ≤ ”.
答案: ≤【要点探究】
知识点 反证法
1.对反证法的两点说明
(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.
(2)反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.2.反证法证题的实质、常用的反证方法及应用时的注意点
(1)实质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确.否定结论时，对结论的反面要一一否定，不能遗漏.
(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.
(3)注意点:要注意用反证法证题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.【微思考】
(1)用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么 q假，q就真？
提示:在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，
二者必居其一，所以命题结论q的反面 q错误时，q就一定正确.
(2)反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？
提示:有关.反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假
一致”，即:“p?q”?“ q? p”.【即时练】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③2.用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】1.选C.由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的.
2.选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”故选A. 【题型示范】
类型一 用反证法证明否定性命题
【典例1】
(1)用反证法证明:“若方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为 ( )
A.整数 B.奇数或偶数
C.自然数或负整数 D.正整数或负整数
(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，
求证: 不成等差数列.【解题探究】1.题(1)中所要证明的命题的结论是什么？
2.题(2)中 不成等差数列的反设是什么？
【探究提示】1.所要证明的命题的结论是“方程没有整数根”.
2.假设 成等差数列.【自主解答】(1)选A.其反设应该是假设方程存在整数根x0.
(2)假设 成等差数列，则
即a+c+2 =4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即b= ，
所以a+c+2 =4 ，
所以a+c-2 =0，即( )2=0，
所以 ，从而a=b=c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.
原假设错误，故 不成等差数列.【方法技巧】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2.用反证法证明数学命题的步骤【变式训练】若x，y，z∈(0，2)，求证:x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1.
【解题指南】此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即“不都”的反面为“都”，可用反证法来处理.【证明】假设x(2-y)>1，且y(2-z)>1，且z(2-x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1， ①
由于0同理0三式相乘得0②与①矛盾，故假设不成立.
所以x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1.类型二 用反证法证明存在性命题
【典例2】
(1)“任何三角形的外角都至少有两
个钝角”的否定是 .
(2)已知a，b，c均为实数，且a=x2-2y+ ，b=y2-2z+ ，c=z2-2x+ ，求证:a，b，c中至少有一个大于0.【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么？
2.题(2)中a，b，c有什么特点？怎样应用这些特点？
【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或两个以上钝角”，即钝角的个数大于等于2.
2.题(2)中a，b，c是含有x，y，z的代数式，将a，b，c三个加起来，重新组合，把含x，y，z的各项分别放在一起.【自主解答】(1)该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.
答案:“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”(2)假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
得a+b+c≤0.
又a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =x2-2x+1+y2-2y+1+z2-2z+1+π-3=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0，即a+b+c>0与a+b+c≤0矛盾，
所以假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.【延伸探究】本例题(1)改为“任何三角形的内角至少有一个大于或等于60°”的否定为 .
【解析】“至少有一个大于或等于60°”的否定是“三个内角都小于60°”.
答案:存在一个三角形，其三个内角都小于60°【方法技巧】
1.用反证法证明“若p，则q”的过程2.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:【变式训练】已知a，b，c是互不相等的实数，求证:由y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a，y3=cx2+2ax+b，
得Δ1=(2b)2-4ac≤0，且Δ2=(2c)2-4ab≤0，且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和得:
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0，
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.
所以a=b=c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0，
x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0，当a≤- 或a≥-1时，至少有一个方程有实数根.【证明】假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得
解得-【备选典例】(1)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，
则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
(2)求证:两条相交直线有且只有一个交点.【解析】(1)选B.对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾；对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一.(2)假设结论不成立，则有两种可能:无交点或不止一个交点.
若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾.
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.【方法技巧】巧用反证法证明唯一性命题
(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.【规范解答】反证法在证明问题中的应用
【典例】(12分)已知:0<α< ，0<β< ，且sin(α+β)=2sinα，求证:α<β.【审题】抓信息，找思路 【点题】警误区，促提升
失分点1:在解答过程中若漏掉①处的两种情况的讨论，而直接按一种情况证明该题，对本例而言，证明过程不严谨，逻辑性差，实际考试中最多得6分.
失分点2:解题时若由②处的等式无法得出矛盾而断然下结论，对本例而言，结果虽正确，但证明过程不严谨，缺乏说服力，最多得9分.
失分点3:解题时若漏掉③处的结论，虽不算错误，但解析不完整，最多得11分.【悟题】提措施，导方向
1.关注前后联系
反证法的关键是找矛盾，所以应注意前后联系，如本例中三角恒等变换的应用在证明中起了关键作用.
2.步骤规范、完整
在证明过程中步骤要完整，步步有理有据，说服力强，不能随意丢弃任何条件，特别是假设的否定不能忽略.【类题试解】用反证法证明“如果四边形ABCD的对角互补，那么四边形ABCD是圆内接四边形”.【证明】假设四边形ABCD不是圆内接四边形.
设经过点A，B，D的圆为☉O，点C在☉O内或☉O外.
因为四边形ABCD的对角互补，
所以∠A+∠C=180°.
在☉O上取点C′，连接BC′，DC′，
则∠A+∠BC′D=180°.若点C在☉O内，则∠C>∠BC′D，∠A+∠C>180°，
与∠A+∠C=180°矛盾，所以假设不成立；
若点C在☉O外，则∠C<∠BC′D，∠A+∠C<180°，
与∠A+∠C=180°矛盾，所以假设不成立.
综上所述，如果四边形ABCD的对角互补，
那么四边形ABCD是圆内接四边形.
反 证 法1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法. ( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理. ( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾. ( )【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.
(3)正确.否定结论导出矛盾就是反证法的实质，从而肯定原结论.
答案:(1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知a≠0，证明关于x的方程ax=b有且只有一解，适宜用
证明.
(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b
至少有一个能被5整除”，则假设的内容是 .
(3)用反证法证明命题“如果a>b，则 ”时，假设的
内容是 .【解析】(1)当直接证明比较困难时，可以采用反证法，本题即
属于此类型，需用反证法证明比较合适.
答案:反证法
(2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b至少有一
个能被5整除的否定是a，b都不能被5整除.
答案:a，b都不能被5整除 与 的关系有三种情况: > ， =
和 < ，所以“ > ”的反设应为“ =
或 < ”，即“ ≤ ”.
答案: ≤【要点探究】
知识点 反证法
1.对反证法的两点说明
(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.
(2)反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.2.反证法证题的实质、常用的反证方法及应用时的注意点
(1)实质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确.否定结论时，对结论的反面要一一否定，不能遗漏.
(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.
(3)注意点:要注意用反证法证题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.【微思考】
(1)用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么 q假，q就真？
提示:在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，
二者必居其一，所以命题结论q的反面 q错误时，q就一定正确.
(2)反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？
提示:有关.反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假
一致”，即:“p?q”?“ q? p”.【即时练】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③2.用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】1.选C.由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的.
2.选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”故选A. 【题型示范】
类型一 用反证法证明否定性命题
【典例1】
(1)用反证法证明:“若方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为 ( )
A.整数 B.奇数或偶数
C.自然数或负整数 D.正整数或负整数
(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，
求证: 不成等差数列.【解题探究】1.题(1)中所要证明的命题的结论是什么？
2.题(2)中 不成等差数列的反设是什么？
【探究提示】1.所要证明的命题的结论是“方程没有整数根”.
2.假设 成等差数列.【自主解答】(1)选A.其反设应该是假设方程存在整数根x0.
(2)假设 成等差数列，则
即a+c+2 =4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即b= ，
所以a+c+2 =4 ，
所以a+c-2 =0，即( )2=0，
所以 ，从而a=b=c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.
原假设错误，故 不成等差数列.【方法技巧】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2.用反证法证明数学命题的步骤【变式训练】若x，y，z∈(0，2)，求证:x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1.
【解题指南】此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即“不都”的反面为“都”，可用反证法来处理.【证明】假设x(2-y)>1，且y(2-z)>1，且z(2-x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1， ①
由于0
所以x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1.类型二 用反证法证明存在性命题
【典例2】
(1)“任何三角形的外角都至少有两
个钝角”的否定是 .
(2)已知a，b，c均为实数，且a=x2-2y+ ，b=y2-2z+ ，c=z2-2x+ ，求证:a，b，c中至少有一个大于0.【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么？
2.题(2)中a，b，c有什么特点？怎样应用这些特点？
【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或两个以上钝角”，即钝角的个数大于等于2.
2.题(2)中a，b，c是含有x，y，z的代数式，将a，b，c三个加起来，重新组合，把含x，y，z的各项分别放在一起.【自主解答】(1)该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.
答案:“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”(2)假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
得a+b+c≤0.
又a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =x2-2x+1+y2-2y+1+z2-2z+1+π-3=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0，即a+b+c>0与a+b+c≤0矛盾，
所以假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.【延伸探究】本例题(1)改为“任何三角形的内角至少有一个大于或等于60°”的否定为 .
【解析】“至少有一个大于或等于60°”的否定是“三个内角都小于60°”.
答案:存在一个三角形，其三个内角都小于60°【方法技巧】
1.用反证法证明“若p，则q”的过程2.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:【变式训练】已知a，b，c是互不相等的实数，求证:由y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a，y3=cx2+2ax+b，
得Δ1=(2b)2-4ac≤0，且Δ2=(2c)2-4ab≤0，且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和得:
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0，
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.
所以a=b=c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0，
x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0，当a≤- 或a≥-1时，至少有一个方程有实数根.【证明】假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得
解得-
则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
(2)求证:两条相交直线有且只有一个交点.【解析】(1)选B.对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾；对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一.(2)假设结论不成立，则有两种可能:无交点或不止一个交点.
若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾.
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.【方法技巧】巧用反证法证明唯一性命题
(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.【规范解答】反证法在证明问题中的应用
【典例】(12分)已知:0<α< ，0<β< ，且sin(α+β)=2sinα，求证:α<β.【审题】抓信息，找思路 【点题】警误区，促提升
失分点1:在解答过程中若漏掉①处的两种情况的讨论，而直接按一种情况证明该题，对本例而言，证明过程不严谨，逻辑性差，实际考试中最多得6分.
失分点2:解题时若由②处的等式无法得出矛盾而断然下结论，对本例而言，结果虽正确，但证明过程不严谨，缺乏说服力，最多得9分.
失分点3:解题时若漏掉③处的结论，虽不算错误，但解析不完整，最多得11分.【悟题】提措施，导方向
1.关注前后联系
反证法的关键是找矛盾，所以应注意前后联系，如本例中三角恒等变换的应用在证明中起了关键作用.
2.步骤规范、完整
在证明过程中步骤要完整，步步有理有据，说服力强，不能随意丢弃任何条件，特别是假设的否定不能忽略.【类题试解】用反证法证明“如果四边形ABCD的对角互补，那么四边形ABCD是圆内接四边形”.【证明】假设四边形ABCD不是圆内接四边形.
设经过点A，B，D的圆为☉O，点C在☉O内或☉O外.
因为四边形ABCD的对角互补，
所以∠A+∠C=180°.
在☉O上取点C′，连接BC′，DC′，
则∠A+∠BC′D=180°.若点C在☉O内，则∠C>∠BC′D，∠A+∠C>180°，
与∠A+∠C=180°矛盾，所以假设不成立；
若点C在☉O外，则∠C<∠BC′D，∠A+∠C<180°，
与∠A+∠C=180°矛盾，所以假设不成立.
综上所述，如果四边形ABCD的对角互补，
那么四边形ABCD是圆内接四边形.