3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件1

课件35张PPT。数系的扩充与复数的引入第三章3.1.1　数系的扩充和复数的概念第三章
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用．
2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示．
3．理解复数相等的充要条件.
重点：1.复数的概念与复数的代数形式．
2．复数的分类．
难点：复数的概念及分类，复数相等.
思维导航
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有解呢？数系的扩充与复数的概念新知导学
1．对于方程x2＋2x＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i2＝－1，则此方程的解可写成x1＝_____________，x2＝_____________.
2．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝_______.
全体复数构成的集合叫做__________．
3．复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________．－1复数集实部虚部[答案]　C
2．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
[答案]　1或－3新知导学
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?___________.
5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是______________，a＝0是z为纯虚数的_____________条件．复数的相等与复数的分类 a＝c且b＝da＝0且b＝0必要不充分
牛刀小试
3．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．不存在
[答案]　C
[解析]　(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.
4．若a－2i＝bi＋1，a、b∈R，则a2＋b2＝________
[答案]　5
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
[答案]　－36．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？ 复数的概念
[分析]　(1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；②是复数比较大小，必须全是实数才可比较；③是在实数条件下x2≥0求得结果，当x为复数时，x2≥0未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断．
[解析]　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．
[答案]　0
[方法规律总结]　解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．学习本章必须准确理解复数的概念．
(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小．下列结论错误的是(　　)
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集是实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
[答案]　C
[解析]　实数集与虚数集的交集为?.复数的分类 若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．4
C．－1或4 D．不存在
[答案]　B 复数相等的条件
[方法规律总结]　熟练掌握复数的概念，复数表示各类数的条件，复数相等的条件，是正确解答这类问题的先决条件，也是学好本章的关键．已知实数x、y满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x、y的值．
[错解]　两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)
∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．
若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．
综上可知：①②③都正确，故选D.
[辨析]　两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．
[正解]　两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.