3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件2

课件53张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.复数
(1)表示方法:复数通常用z表示，即z=_____________.
(2)代数式中各字母的名称:a+bi(a，b∈R)实部虚部虚数单位(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
_____b=0，
复数a＋bi(a，b∈R) 纯虚数a=0，b≠0，
_____b≠0
非纯虚数a≠0，b≠0.实数虚数2.复数的相等
a＋bi＝c＋di?___________(a，b，c，d∈R).
3.复数集
(1)定义：由_________所构成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母__表示．
(3)关系：用图形表示N，Z，Q，R间的关系a＝c且b＝d全体复数CRQZN1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( )
(2)若a为实数，则z= a一定不是虚数.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( ) 【解析】(1)错误，若b=0，则z=a+bi为实数.
(2)正确.因为a为实数，所以z=a中没有虚部，一定不是虚数.它是实数.
(3)错误，若b=i，则bi=i2=-1.故bi不一定是纯虚数.
(4)正确，由复数相等的概念可得.
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若a+bi=0，则实数a=_______，实数b=________.
(2)(1＋ )i的实部与虚部分别是________.
(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝______.【解析】(1)由复数相等的概念得a=0，b=0.
答案：0 0
(2)(1＋ )i可看作0＋(1＋ )i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋
答案：0，1＋
(3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，
所以a＝±1.
答案：±1【要点探究】
知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络
自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系. 2.虚数单位i性质的两个关注点
(1)i2＝－1的理解：并没有规定 还是 或
在今后的学习中，我们将知道 但不
能说
(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的
原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并
不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运
算时，只对加法乘法法则作出规定，而把减法、除法作为
加法、乘法的逆运算的做法相一致．3.实部与虚部的要求：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部．【知识拓展】数系扩充的原则
数系扩充时，一般要遵循以下原则：
(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集.
(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用.
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变.
(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．【微思考】
(1)复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？
提示：不一定，只有当m，n∈R时，m才是实部，n才是虚部．
(2)i可以除以任何实数吗？
提示：不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系，运算与实数一致，由于在实数运算中0不能作除数，故i不可以除以任何实数.【即时练】
完成下列表格(分类栏填实数、虚数或纯虚数)【解析】 知识点2 复数的相等
对复数相等的两点说明
(1)两个复数相等的充要条件的理解
若z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R).则z1=z2?a=c且b=d.利用这一结论，可以把复数问题转化为实数问题进行解决，并且一个复数等式可以转化为两个实数等式，通过解方程组得到解决.
(2)不能比较大小:一般对两个虚数只能说相等或不相等；不能比较大小.由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.【微思考】
(1)z1，z2是复数，z1-z2>0，那么z1>z2，这个命题是真命题吗？
提示:假命题.例如，z1=1+i，z2=-2+i，z1-z2=3>0，但z1>z2无意义，
因为虚数不能比较大小.
(2)若z1，z2∈R， 则z1=z2=0，此命题对z1，z2∈C还成立
吗？
提示:不一定成立.比如z1=1，z2=i满足 但z1≠0，z2≠0.(3)两个复数一定不能比较大小对吗？
提示:不一定，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系.【即时练】
如果(x+y)i=x-1，则实数x，y的值分别为( )
A.x=1，y=-1 B.x=0，y=-1
C.x=1，y=0 D.x=0，y=0
【解析】选A.由已知得 所以x=1，y=-1.
【题型示范】
类型一 复数的概念
【典例1】(1)给出下列三个命题:①若z∈C，则z2≥0；②2i-1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为　(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3
(2)(2014·启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是　　　　.(3)判断下列命题的真假.
①若x，y∈C，则x+yi=1+2i的充要条件是x=1，y=2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集.【解题探究】1.题(1)中虚数的平方是否大于等于0，代数式中的虚部是否一定为实数？
2.题(2)中复数z=a2-(2-b)i实部与虚部分别是什么？
3.题(3)中实数能否比较大小？①中数x，y是否一定为实数？
【探究提示】1.虚数的平方不一定大于等于0，实数的平方一定大于等于0，代数式中的虚部一定为实数.
2.实部为a2，虚部为-(2-b).
3.实数能够进行大小比较.数x，y不一定为实数也可能是虚数.【自主解答】(1)选B.对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成
立，如z=i，z2=-1<0，所以①为假命题；
对于②，2i-1=-1+2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i=0+2i，其实部是0，所以③为真命题.
(2)由题意得:a2=2，-(2-b)=3，所以a=± b=5.
答案:± 5
(3)①由于x，y都是复数，故x+yi不一定是代数形式，因此不符合
两个复数相等的充要条件，故①是假命题.
②当a=0时，ai=0为实数，故②为假命题.
③由复数集的分类知，③正确，是真命题.【方法技巧】判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例:判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
(2)化代数式:对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a+bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.【变式训练】下列命题中:
①1+i2=0； ②若a，b∈R，且a>b，则a+i>b+i；
③若x2+y2=0，则x=y=0； ④两个虚数不能比较大小.
其中，正确命题的个数是　(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
【解析】选B.对于①，因为i2=-1，所以1+i2=0，故①正确.
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错.
对于③，当x=1，y=i时x2+y2=0成立，故③错.④正确.【误区警示】复数概念易错点
(1)注意虚部不是bi，而是b.还要特别注意，要保证实部、虚部有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数.
(3)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.【补偿训练】若复数z=3+bi>0(b∈R)，则　(　　)
A.b>0 B.b=0
C.b<0 D.以上都不正确
【解析】选B.只有实数才可以比较大小，既然有3+bi>0，则说明z=3+bi为实数，故b=0.类型二 复数的分类
【典例2】
(1)复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件
是　(　　)
A.|a|=|b|　　　　　　　　B.a<0且a=-b
C.a>0且a≠b D.a>0且a=±b
(2)实数m取什么值时，复数(m2-3m+2)+(m2-4)i是:
①实数；②虚数；③纯虚数.【解题探究】1.题(1)中复数z为纯虚数满足的条件是什么？
2.复数z=a+bi(a，b∈R)，a，b为什么时z为实数，a，b为什么时z
为虚数？a，b为什么时z为纯虚数？
【探究提示】1.
2.b=0时z为实数，b≠0时z为虚数，a=0，b≠0时z为纯虚数.【自主解答】(1)选D.a2-b2=0，且a+|a|≠0.故得a>0且a=±b.
(2)设z=(m2-3m+2)+(m2-4)i.
①要使z为实数，必须有m2-4=0，
得m=-2或m=2，即m=-2或m=2时，z为实数.
②要使z为虚数，必有m2-4≠0，即m≠-2且m≠2.故m≠-2且m≠2时，z为虚数.③要使z为纯虚数，必有
所以
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0，而|a|=-a，所以a≤0.【方法技巧】
1.解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)，①z为实数?b=0；
②z为虚数?b≠0；③z为纯虚数?a=0且b≠0.2.复数分类的应用
(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使表达式有意义，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的.
(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.【变式训练】m取何实数时，复数
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
【解析】(1)因为z为实数，所以
所以
所以m＝5.
所以当m＝5时，z是实数．(2)因为z为虚数，所以
所以
所以m≠5且m≠-3.
所以当m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(3)因为z为纯虚数，所以
所以
所以m＝3或m＝－2.
所以当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．【误区警示】形如a+bi的复数，一定要注意，只有当a，b是有定义的实数时才能充当复数的实部、虚部，在这个前提下，研究复数的分类才不易出错.【补偿训练】实数a取什么值时，复数z＝a－1＋(a＋1)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解析】(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，复数z是实数．
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，复数z是虚数．
(3)当
即a＝1时，复数z是纯虚数.类型三 复数的相等
【典例3】
(1)已知x，y均是实数，且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i，则x=　　　　，y=　　　　.
(2)已知M={(a+3)+(b2-1)i，8}，集合N={3i，(a2-1)+(b+2)i}，同时满足M∩N M，M∩N≠ ，求整数a，b.
【解题探究】1.复数(2x-1)+i的实部与虚部分别是多少？复数-y-(3-y)i的实部与虚部分别是多少？
2.由条件M∩N M，M∩N≠ 能得到的结论是什么？【探究提示】1.复数(2x－1)＋i的实部为2x－1，虚部为1；
复数－y－(3－y)i的实部为－y，虚部为－(3－y).
2.由M∩N M知两个集合M，N不能相等.由M∩N≠ 能得到两
个集合M，N中有公共元素.
【自主解答】(1)由复数相等的充要条件得
答案：(2)由条件M∩N M，M∩N≠
得(a+3)+(b2-1)i=3i；　　①
或8=(a2-1)+(b+2)i. ②
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.　③
由①得a=-3，b=±2，
当a=-3，b=2时，M={3i，8}，N={3i，8+4i}满足题意.
经检验，a=-3，b=-2不合题意，舍去.由②得b=-2，a=-3或b=-2，a=3
当b=-2，a=-3时M={3i，8}，N={3i，8}不合题意，舍去.
当b=-2，a=3时，M={6+3i，8}，N={3i，8}满足题意.
由③得
得a，b不是整数舍去.
故a=-3，b=2或a=3，b=-2.【方法技巧】化复为实转化求解
应用两个复数相等的充要条件时，首先要把“=”左右两侧的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后确定两个独立参数列出方程，化复数问题为实数问题得以解决.【变式训练】已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实根，
求实数m的值.
【解析】设x=a为方程的一个实数根.
则有a2+(1-2i)a+(3m-i)=0，
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0.
因为a，m∈R，由复数相等的充要条件
故实数m的值为【补偿训练】已知P={-1，1，4i}，M={1，(m2-2m)+(m2+m-2)i}.若M∪P=P，求实数m的值
【解析】因为M∪P=P，所以M?P，
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得m2-2m=-1，m2+m-2=0，解得m=1.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-4i得m2-2m=0，m2+m-2=4，解得m=2.
综上可知，m=1或m=2.【拓展类型】含有虚数单位i的不等式
【备选例题】若z1=m2-(m2-3m)i，z2=(m2-4m+3)i+10(m∈R)，
z1【解析】因为z1所以解得m=3.
又z1=m2=9所以m=3.【方法技巧】隐含条件的应用
两个虚数不能比较大小，若两个复数能够比较大小，则这两个复数一定为实数，即复数的虚部为0.【易错误区】明晰复数概念，正确判断命题
【典例】在下列命题中，正确命题的个数是　(　　)
(1)两个复数不能比较大小；
(2)若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1=z2；
(3)若a，b是两个相等的实数，则(a-b)+(a+b)i必为纯虚数.
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3【解析】选A.两个复数，当它们都是实数时①，是可以比较大小的，故(1)是错误的；
设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当
a≠c时②，z1≠z2，故(2)是错误的；
(3)当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0③时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故(3)错误，因此选A.【常见误区】【防范措施】
1.明确关系:解决与复数相关的问题时，要明确复数与实数间的从属关系.如本例(1)是区分复数是哪一类数.
2.分清概念:虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)，虚数为a+bi(a，b∈R，且b≠0).【类题试解】下面几个命题正确的个数为　(　　)
①0比-i大；②若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；
③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.①0比-i大，实数与虚数不能比较大小；②若a=-1则(a+1)i=0为实数；③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数.