3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课件1

课件41张PPT。3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其
几何意义复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1z2+z31.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应.　(　　)
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.　(　　)
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.
　(　　)【解析】(1)错误.复数与复平面上的点一一对应，则复数与以原点为起点的向量一一对应，而不是与向量一一对应.
(2)错误.复数与复数相加相减后依然是复数，可能为实数，也可能为虚数.
(3)错误.虚数的模是实数，实数可以比较大小.
答案:(1)×　(2)×　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)计算：(3+5i)+(3-4i)=_______.
(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=________.
(3)已知向量 对应的复数为2-3i，向量 对应的复数
为3-4i，则向量 对应的复数为______.【解析】(1)(3+5i)+(3-4i)=6+i.
答案：6+i
(2)原式=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i.
答案：-11i
(3)
答案：1-i【要点探究】
知识点1 复数的加法、减法运算
对复数加法、减法运算的五点说明
(1)一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形:当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致.(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
(4)适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.
(5)虚数单位i:在进行复数加减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可.【微思考】
(1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
提示:仍然是个复数，是一个确定的复数.
(2)若复数z1，z2满足z1-z2>0，能否认为z1>z2？
提示:不能.如2+i-i>0，但2+i与i不能比较大小.【即时练】
已知复数z1=3+4i，z2=3-4i，则z1+z2=　(　　)
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
【解析】选B.z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.知识点2 复数加减运算的几何意义
对复数加减运算的两点说明
(1)复数的加法:根据复数加法的几何意义知，两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数.
(2)复数的减法:根据复数减法的几何意义，两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数.【知识拓展】注意类比思想方法的运用.
复数与向量有着天然的联系，要注意向量知识在复数学习中的催化作用.【微思考】
(1)类比绝对值|x-x0|的几何意义，说明|z-z0|(z，z0∈C)的几何意义.
提示:|z-z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离，即|ZZ0|=|z-z0|.(2)既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则来运
算，是不是就有z1＋z2＝ z2－z1＝ 呢？
提示:因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间的对应
关系；式子z1＋z2＝ z2－z1＝ 的左边是复
数，而右边是向量，因此不能说z1＋z2与 z2－z1
与 相等．【即时练】
复数z1=1+2i，z2=3+5i分别对应复平面内A，B两点，则A，B两点
的距离为___________.
【解析】复数z1=1+2i，z2=3+5i分别对应复平面内A，B两点的
坐标为(1，2)，(3，5)，则|AB|=
答案： 【题型示范】
类型一 复数的加法、减法运算
【典例1】
(1)若z1=2+i，z2=3+ai，复数z1+z2所对应的点在实轴上，则
a=　(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
(2)计算:①(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i)；
②1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).【解题探究】1.复数z1+z2的值是多少？实轴上的点所对应复数的虚部是多少？
2.题(2)中①各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多少？②中的i2等于多少？
【探究提示】1.z1+z2=5+(a+1)i，实轴上点的纵坐标为0，则实轴上的点所对应复数的虚部是0.
2.①各小括号内的复数所对应的实部分别是1，-2，-2，1，虚部分别是2，1，-1，-2.②中的i2等于-1.【自主解答】(1)选C.由z1+z2=5+(a+1)i所对应的点在实轴上得a=-1.
(2)①原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.
②原式=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i)=(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i.【方法技巧】复数加减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项.【变式训练】计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
【解析】(1)原式=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)原式=5i-(4+i)=-4+4i.【误区警示】注意运算格式及范围避免出错
(1)在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号，如z1=a+bi，z2=c+di，z1-z2=(a-c)+(b-d)i，而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i.
(2)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加.【补偿训练】计算(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a，b∈R).
【解析】原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.类型二 复数的加法、减法运算的几何意义
【典例2】
(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个
顶点A，B，C对应的复数分别是1+3i，-i，2+i，则点D对应的复
数为　　　　　.
(2)已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|= 求|z1－z2|．【解题探究】1.点A，B，C的坐标分别是多少？向量 与向量
是否相等？
2.由复数的几何意义可知，z1，z2，z1+z2在复平面上对应的点分
别为Z1，Z2，Z，则它们与原点构成了一个什么样的图形？
【探究提示】1.顶点A，B，C的坐标分别是(1，3)，(0，-1)，
(2，1)；由平行四边形ABCD知，向量 与向量 相等.
2.在复平面内画出图形可知为平行四边形.【自主解答】(1)设D(x，y)，类比向量的运算知 所以有
复数－i－(1+3i)=2+i－(x+yi)得x=3，y=5，所以D对应的复数
为3+5i.
答案：3+5i
(2)设复数z1，z2，z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，
Z，由|z1|=|z2|=1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，
在△OZ1Z中，由余弦定理，得所以∠OZ1Z=120°，所以∠Z1OZ2=60°，因此，△OZ1Z2是
正三角形，所以|z1－z2|=|Z2Z1|=1．【延伸探究】若把题(2)中的条件“|z1+z2|= ”改为
“|z1-z2|=1”，则|z1+z2|等于多少？
【解析】设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由
|z1|=|z2|=1，|z1-z2|=1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是
菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
得|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2-2|z1||z2|cos∠OZ1Z，
因为∠Z1OZ2=60°，所以∠OZ1Z=120°，
所以|z1+z2|=【方法技巧】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)技巧:
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，
z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
①为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【变式训练】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
(1) 表示的复数.
(2)对角线 表示的复数.
(3)对角线 表示的复数．【解题指南】(1)中注意向量的起点与终点.(2)注意把向量
用向量 表示.
(3)借助向量的运算
【解析】(1) 则 对应的复数为－(3＋2i)，
即－3－2i.
(2) 所以 对应的复数为(3＋2i)－(－2+4i)
＝5－2i.
(3) 所以 对应的复数为(3＋2i)＋
(－2＋4i)＝1＋6i.【补偿训练】复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【解析】设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则 ＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
因为 所以(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.
所以
解得
故点D对应的复数为2－i.【易错误区】复数运算中思维不严谨而致误
【典例】设x∈[0，2π)，复数z1=cosx+isinx对应的点在第
一象限中直线y=x的左上方，z2=1-i，则|z1+z2|的取值范围是　　　　.【解析】由已知得z1+z2=(cos x+1)+(sin x-1)i，
所以|z1+z2|=
因为复数z1=cos x+isin x对应的点在第一象限中直线
y=x的左上方，且x∈[0，2π)，所以
解得
所以
故
所以
答案：【常见误区】【防范措施】
1．题目条件的充分利用
解题时，要仔细审题，建立条件与所求之间的联系，实现题目条件向结论的正确转化，如本例根据已知条件，将|z1+z2|化为三角函数式，再化简求值.
2.注意条件的挖掘
已知复数z=a+bi，根据复数的几何意义，已知点的坐标所在位置，可得a，b的取值范围，如本例中根据z1对应的点的位置可列不等式组，得到x的取值范围.【类题试解】若复数z1=2cos α+isin α，z2=cos α-
(sin α-1)i，α∈(0，π)，且z1-z2＜0，则α=_________.
【解析】由条件得z1-z2=cos α+(2sin α-1)i，因为z1-z2
＜0，所以
由2sin α-1=0，得sin α= 又α∈(0，π)，所以
当α= 时，cos α= ＞0，故舍去，所以
答案：