2.2.1 综合法与分析法 教案

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2.2.1
直接证明--综合法与分析法
教案
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.21教育网
过程与方法:
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.
2．教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点
3．教学难点：
分析法和综合法的思考过程、特点
4．教具准备：
与教材内容相关的资料.
5．教学设想：
分析法和综合法的思考过程、特点.
“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.21cnjy.com
6．教学过程:
1.
综合法
综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法21·cn·jy·com
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法2·1·c·n·j·y
例1、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为，且A，B，C成等差数列，
成等比数列，求证△ABC为等边三角形.【来源：21·世纪·教育·网】
分析：将
A
，
B
，
C
成等差数列，转化为符号语言就是2B
=A
+
C；
A
，
B
，
C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A
+
B
+
C
=；
a，b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．21·世纪
教育网
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.
证明：1)
差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证.
2)商值比较法：设
故原不等式得证.
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断符号.www-2-1-cnjy-com
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
2.
分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论
Q
出发，反推回去，寻求保证
Q
成立的条件，明尸
2
成立，再去寻求尸
2
成立的充分条件尸
3
件、定理、定义、公理等)为止．乞，再去寻求尸
1
成立的充分条件尸
2
；为了证
…
…
直到找到一个明显成立的条件.
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法www.21-cn-jy.com
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因
分析法的书写格式：
要证明命题B为真
只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故命题B必为真
例3、求证
证明：因为都是正数，所以为了证明
只需证明
展开得
即
因为成立，所以
成立
即证明了
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，
这只需要证明命题B1为真，从而有……
这只需要证明命题B2为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故B必真
3.
课堂练习
1.若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
2.已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.
证明：1)
差值比较法：
注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证.
2）商值比较法：
设
故原不等式得证.
4.
教学反思：
本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.
“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.21世纪教育网版权所有
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