2.2.2 反证法 教案
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2.2.2
间接证明——反证法
教案
1.教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.21世纪教育网版权所有
过程与方法:
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点.
3.教学难点：反证法的思考过程、特点.
4.教具准备：与教材内容相关的资料.
5.教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.
6.教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.www.21-cn-jy.com
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.21教育网
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
例1、已知直线和平面，如果，且，求证.
证明：因为，
所以经过直线a
，
b
确定一个平面.
因为，而，
所以
与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a
与平面有公共点，则，即点是直线
a
与b的公共点，这与矛盾．所以
.
点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2·1·c·n·j·y
推理模式：．
例2、求证：不是有理数
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如(互质，
”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．21cnjy.com
正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与1
是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐.
例3、已知，求证：（且）
证明：假设不大于，即或.
∵a＞0，b＞0
∴由
(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么 )
a＜b(推理利用了不等式的传递性).
又由
但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.
∴成立.
例4、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立.
例5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？21·cn·jy·com
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
课后作业：第84页
4、5、6
教学反思：
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2.2.2
间接证明——反证法
教案
1.教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.21世纪教育网版权所有
过程与方法:
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点.
3.教学难点：反证法的思考过程、特点.
4.教具准备：与教材内容相关的资料.
5.教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.
6.教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.www.21-cn-jy.com
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.21教育网
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
例1、已知直线和平面，如果，且，求证.
证明：因为，
所以经过直线a
，
b
确定一个平面.
因为，而，
所以
与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a
与平面有公共点，则，即点是直线
a
与b的公共点，这与矛盾．所以
.
点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2·1·c·n·j·y
推理模式：．
例2、求证：不是有理数
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如(互质，
”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．21cnjy.com
正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与1
是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐.
例3、已知，求证：（且）
证明：假设不大于，即或.
∵a＞0，b＞0
∴由
(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么 )
a＜b(推理利用了不等式的传递性).
又由
但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.
∴成立.
例4、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立.
例5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？21·cn·jy·com
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
课后作业：第84页
4、5、6
教学反思：
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