2.2.2 反证法 学案（无答案）

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2.2.2
反证法
学案
【学习目标】
1.
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.
了解反证法的思考过程、特点；
3.
会用反证法证明问题.
【学习内容】
一、课前预习
(预习教材89-91页，找出疑惑之处)
复习1：直接证明的两种方法:_____________和_____________；
复习2：_____________是间接证明的一种基本方法.
二、课堂互动探究:典例精析
变式训练
探究任务：反证法
问题(1)：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
问题(2):三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？
新知：一般地，假设原命题_____________，经过正确的推理，最后得出____________，因此说明假设_____________，从而证明了原命题_____________.这种证明方法叫_____________.21世纪教育网版权所有
试试：
证明：不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立
→
从假设出发，经推理论证得到矛盾
→
矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立.21cnjy.com
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
典型例题
例1
已知，证明的方程有且只有一个根.
变式：证明在中，若是直角，那么一定是锐角.
小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等).21·cn·jy·com
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
动手试试
练1.
如果，那么.
练2.
的三边的倒数成等差数列，求证:.
三、总结提升
学习小结
1.
反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2.
反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
知识拓展
空城计与反证法
空城计相传三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，传令大开城门，让老弱士兵在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅，
司马懿来到城前见此情况，心中疑惑，他想诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，今天如此这般与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不能中计，于是急令退兵.21教育网
诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题(守住城)的反面(不守城)考虑，来解决用直接或正面方法(用少数老弱兵士去拼杀)很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.
三．课堂练习及课后作业
1.
用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是(
).
A．假设三内角都不大于B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于
D．假设三内角至多有两个大于
2.
实数不全为0等价于为(
).
A．均不为0
B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0
D．中至少有一个不为0
3.设都是正数，则三个数(
).
A．都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
4.用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为_____________.
5.
“”是“”的_____________条件.
6.
已知，且.试证:中至少有一个小于2.
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