3.1.2 复数的几何意义 教案

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3.1.2
复数的几何意义
教案
教学目标
1.
了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数.
2.
了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想.
教学重点
复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义.
教学过程
前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义.21cnjy.com
一、
问题情境
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么，复数是否也能用点来表示呢？21·cn·jy·com
二、
学生活动
知识回顾：
①形如的数叫复数，通常用字母表示，即，其中与分别叫做复数的实部与虚部..
②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等
即　　.
问题1　　复数相等的充要条件表明，任何一个复数都可以由一个有序实数对惟一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎么用平面内的点来表示复数呢？【来源：21·世纪·教育·网】
问题2　　我们知道平面直角坐标系中的点与以原点为起点、为终点的向量是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？21·世纪
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三、
建构数学
师生共同活动：
1.　在平面直角坐标系中，以复数的实部为横坐标、虚部为纵坐标就确定了点，我们可以用点来表示复数，这就是复数的几何意义.
2.　建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面(也称为高斯平面)，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数.
3.　因为复平面内的点与以原点为起点、为终点的向量一一对应(实数0与零向量对应)，所以我们也可以用向量来表示复数，这也是复数的几何意义.
4.　根据上面的讨论，我们可以得到复数、复平面内的点和平面向量这间的关系(如图).今后，常把复数说成点或向量(并且规定相等的向量表示同一个复数)21世纪教育网版权所有
5.　相对于复数的代数形式，我们把点称为复数的几何形式，向量称为复数的向量形式.
四、数学运用
例1　　在复平面内，分别用点和向量表示下列复数
，，，，
问题3　我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴与这个实数对应点到原点的距离，任何一个向量都有模(或绝对值)，它表示向量的长度，相应地，我们可以给出复数的模(或绝对值)的概念吗？它又有什么几何意义呢？21教育网
向量的模叫做复数的模(或绝对值)，记作或.由模的定义可知.复数的模表示复平面内该点到原点的距离.
例2　　已知复数，，试比较它们的模的大小
思考：
①两复数的模能比较大小，两复数能比较大小吗？
②与两复数有什么关系？它们的模有怎样的关系？能推广到一般情形，并找到一些性质吗？
例3　设满足下列条件的点的集合是什么图形？
①；　　　　　　②
结论：复数可以用平面向量来表示，复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到.两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的.www.21-cn-jy.com
不难验证向量的“数乘”运算与复数中“实数乘以复数”类似，但对于向量的数量积，在复数中找不到类似的运算.2·1·c·n·j·y
五、　回顾反思
1.　由实数用数轴上的点来表示，类比联想得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到复数的向量形式，这是由一维向二维的联想，同时实现了从“数”到“形”的转化.类比平面向量的加减法，又得到了复数加减法的几何意义，从而对复数有了新的认识.
2.　通过复数的几何意义与复数加减法几何意义的学习，体会数形结合的思想.复数作为一种新数学语言，也将为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能.
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