江苏省淮安市淮阴师院附中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省淮安市淮阴师院附中高一（上）期中数学试卷
　
一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.将答案填在答题纸上.）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=　　．
2．函数的定义域为　　．
3．若函数f（x）=px+q，f（3）=5，f（5）=9，则f（1）的值为　　．
4．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=　　．
5．已知奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x+，则f（﹣1）=　　．
6．已知f（x）是R上增函数，若f（a）＞f（1﹣2a），则a的取值范围是　　．
7．二次函数y=x2+x﹣1，则函数的零点个数是　　．
8．函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是　　．
9．设f（x）=，则f（f（））=　　．
10．已知函数y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（其坐标与a无关），则定点A的坐标为　　．
11．若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的单调递减区间是　　．
12．已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=　　．
13．关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是　　．
14．已知f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）是单调增函数，且f（1）=0，则f（x+1）＜0的解集为　　．
　
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（14分）计算：
（1）；
（2）lg25﹣lg22+lg4．
16．（14分）设集合A={x|x＞1}，B={x|x≥2}．
（1）求集合A∩（ RB）；
（2）若集合C={x|x﹣a＞0}，且满足A∩C=C，求实数a的取值范围．
17．（15分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；
（2）写出函数f（x）的解析式和值域．
18．（15分）某超市五一假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300
元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．
（1）写出顾客购物全额与应付金额之间的函数关系，并画出流程图，要求输入购物全额，能输出应付金额．
（2）若某顾客的应付金额为282.8元，请求出他的购物全额．
19．（16分）已知函数f（x）=m﹣
（1）若f（x）是R上的奇函数，求m的值
（2）用定义证明f（x）在R上单调递增
（3）若f（x）值域为D，且D [﹣3，1]，求m的取值范围．
20．（16分）已知函数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证：；
（3）已知a，b∈（﹣1，1），且，，求f（a），f（b）的值．
　
2016-2017学年江苏省淮安市淮阴师院附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.将答案填在答题纸上.）
1．（2013秋 江阴市期中）设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=　{1，2，3，4，5}　．
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】集合A与集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，
∴A∪B={1，2，3，4，5}．
故答案为：{1，2，3，4，5}．
【点评】本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
　
2．（2015春 武汉校级期末）函数的定义域为　（0，1]　．
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答】解：要使函数有意义则
由
0＜x≤1
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．
　
3．（2016秋 清河区校级期中）若函数f（x）=px+q，f（3）=5，f（5）=9，则f（1）的值为　1　．
【考点】一次函数的性质与图象；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，进而即可求出函数值．
【解答】解：∵函数f（x）=px+q，f（3）=5，f（5）=9，
∴，解得，
∴f（x）=2x﹣1．
∴f（1）=2×1﹣1=1．
故答案为1．
【点评】熟练掌握待定系数法是解题的关键．
　
4．（2015秋 玉林期末）已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=　2　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点
代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．
【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则
2α=，∴α=，故函数的解析式为
y
f（x）=，
∴f（4）==2，
故答案为
2．
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．
　
5．（2012秋 临清市校级期末）已知奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x+，则f（﹣1）=　﹣2　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），据此可求出f（﹣1）．
【解答】解：∵当x＞0时f（x）=x+，∴f（1）=1+1=2，
又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故答案是﹣2．
【点评】本题考查了奇函数的应用，正确理解奇函数的定义是解决问题的关键．
　
6．（2016秋 清河区校级期中）已知f（x）是R上增函数，若f（a）＞f（1﹣2a），则a的取值范围是　　．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数的单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而可解不等式．
【解答】解：因为f（x）是R上增函数，所以f（a）＞f（1﹣2a）可化为a＞1﹣2a，解得a＞．
所以a的取值范围是a＞．
故答案为：a＞．
【点评】本题考查函数单调性的应用，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力．
　
7．（2016秋 清河区校级期中）二次函数y=x2+x﹣1，则函数的零点个数是　2　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】令二次函数y=x2+x﹣1=0，根据△＞0，可得结论．
【解答】解：令二次函数y=x2+x﹣1=0，
则△=1+4=5＞0，
故函数有两个零点，
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
　
8．（2008秋 南京期末）函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是　　．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】计算题．
【分析】根据x的范围确定的范围，然后求出函数的值域．
【解答】解：因为x∈[﹣1，1]，所以
所以
即f（x）∈
故答案为：
【点评】本题考查指数函数的定义域和值域，考查基本知识掌握程度．
　
9．（2016秋 清河区校级期中）设f（x）=，则f（f（））=　4　．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数的表达式，直接代入进行求值即可．
【解答】解：由分段函数可知，f（）=，
∴f（f（））=f（﹣2）=2﹣（﹣2）=22=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查分段
函数的应用，注意分段函数的求值范围，比较基础．
　
10．（2011 顺庆区校级模拟）已知函数y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（其坐标与a无关），则定点A的坐标为　（﹣2，﹣1）　．
【考点】指数函数的图象与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，我们易求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．
【解答】解：由指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点
而要得到函数y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象，
可将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象向左平移两个单位，再向下平移两个单位．
则（0，1）点平移后得到（﹣2，﹣1）点
故答案为：（﹣2，﹣1）
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．
　
11．（2012秋 费县校级期末）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的单调递减区间是　（﹣∞，0）　．
【考点】函数的单调性及单调区间；偶函数．
【专题】计算题．
【分析】令奇次项系数为0求出k的值，求出对称轴及开口方向，求出单调递减区间．
【解答】解：函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数
所以k﹣1=0
解得k=1
所以f（x）=x2+2，
此二次函数的对称轴为x=0，开口向上
所以f（x）的递减区间是（﹣∞，0）
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】整式函数若为偶函数则不含奇次项，若为奇函数则不含偶次项；二次函数的单调区间与对称轴及开口方向有关，属基础题．
　
12．（2016秋 清河区校级期中）已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）=　3　．
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】分别把x=2和﹣2代入f（x）=ax3﹣bx+1，得到两个式子，再把它们相加就可求出f（2）的值．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣bx+1，
∴f（﹣2）=﹣8a+2b+1=﹣1，①
而设f（2）=8a﹣2b+1=M，②
∴①+②得，M=3，即f（2）=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用整体代换求函数的值，即利用函数解析式的特点进行求解．
　
13．（2015春 宿迁期末）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是　1　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合．
【分析】构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，即可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a的值．
【解答】解：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，如图所示
则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a=1
故答案为：1
【点评】本题考查方程的解，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
　
14．（2016秋 清河区校级期中）已知f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）是单调增函数，且f（1）=0，则f（x+1）＜0的解集为　（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知，不等式f（x+1）＜0等价于f（|x+1|）＜f（1），再利用函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，可去掉函数符号“f”，从而不等式可解．
【解答】解：由于f（1）=0，所以不等式f（x+1）＜0可化为f（x+1）＜f（1），
又f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
所以f（x+1）＜f（1） f（|x+1|）＜f（1），
而当x∈（0，+∞）时，f（x）是单调增函数，
所以0＜|x+1|＜1，解得﹣2＜x＜0，且x≠﹣1．
即f（x+1）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）．
故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．
　
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（14分）（2016秋 清河区校级期中）计算：
（1）；
（2）lg25﹣lg22+lg4．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，
（2）根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：（1）原式=××（）=×（22×3）×3×2=3×2=3；
（2）原式=（lg5﹣lg2）（lg5+lg2）+2lg2=lg5﹣lg2+2lg2=lg5+lg2=1．
【点评】本题主要考查了指数幂对数的运算性质，属于基础题．
　
16．（14分）（2016秋 清河区校级期中）设集合A={x|x＞1}，B={x|x≥2}．
（1）求集合A∩（ RB）；
（2）若集合C={x|x﹣a＞0}，且满足A∩C=C，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．
【专题】综合题；综合法；集合．
【分析】（1）由题意和补集的运算求出 RB，由交集的运算求出A∩（ RB）；
（2）先求出集合C，由A∩C=C得C A，根据子集的定义求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，B={x|x≥2}，
则 RB={x|x＜2}，
又A={x|x＞1}，所以A∩（ RB）={x|1＜x＜2}；
（2）C={x|x﹣a＞0}={x|x＞a}，
由A∩C=C得，C A，
所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及子集的定义，属于基础题．
　
17．（15分）（2014 埇桥区校级学业考试）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；
（2）写出函数f（x）的解析式和值域．
【考点】二次函数的图象；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，由此补出完整函数f（x）的图象即可，再由图象直接可写出f（x）的增区间．
（2）可由图象利用待定系数法求出x＞0时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．
【解答】解：（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如有图：
所以f（x）的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．
（2）设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）=f（x），所以x＞0时，f（x）=x2﹣2x，
故f（x）的解析式为
值域为{y|y≥﹣1}
【点评】本题考查分段函数求解析式、作图，同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质．
　
18．（15分）（2016秋 清河区校级期中）某超市五一假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300
元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．
（1）写出顾客购物全额与应付金额之间的函数关系，并画出流程图，要求输入购物全额，能输出应付金额．
（2）若某顾客的应付金额为282.8元，请求出他的购物全额．
【考点】分段函数的应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）运用分段函数的形式，顾客购物全额x与应付金额y之间的函数关系，并画出流程图；
（2）由300×0.9=270＜282.2，则该顾客购物全额超过300元，运用第三段函数式，令y=282.8，解出x．
【解答】解：（1）顾客购物全额x与应付金额y之间的函数关系如下
y=，
流程图如右：
（2）设顾客的购物全额为x，则
由300×0.9=270＜282.2，
则该顾客购物全额超过300元，
由y=300×0.9+0.8（x﹣300）=282.8，
解得x=316，
所以顾客的购物全额为316元．
【点评】本题考查分段函数和运用，同时考查流程图的画法，属于基础题．
　
19．（16分）（2015秋 和平区期中）已知函数f（x）=m﹣
（1）若f（x）是R上的奇函数，求m的值
（2）用定义证明f（x）在R上单调递增
（3）若f（x）值域为D，且D [﹣3，1]，求m的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由奇函数的定义可得f（x）+f（﹣x）=0恒成立，由此可求得m值；
（2）设
x1＜x2且x1，x2∈R，利用作差证明f（x1）＜f（x2）即可；
（3）先根据反比例函数的单调性求出值域D，然后由D [﹣3，1]可得关于m的不等式组，解出即可；
【解答】（1）解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）+f（﹣x）=m﹣+m﹣=0，
即2m﹣（
+）=0 2m﹣1=0，
解得m=；
（2）设
x1＜x2且x1，x2∈R，
则f（x1）﹣f（x2）=m﹣﹣（m﹣）=，
∵x1＜x2∴，
，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增；
（3）由，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，且D [﹣3，1]，
∴D=（m﹣1，m），
∵D [﹣3，1]，
∴，
∴m的取值范围是[﹣2，1]．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用及单调性的证明，属基础题，定义是解决相关问题的基本方法，要熟练掌握．
　
20．（16分）（2011秋 苏州期末）已知函数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证：；
（3）已知a，b∈（﹣1，1），且，，求f（a），f（b）的值．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】综合题．
【分析】（1）由可得函数的定义域（﹣1，1），关于原点对称，再由=可判断函数奇偶性
（2）分别计算
f（a）+f（b）与可证
（3）由（2）可得f（a）+f（b）=1
，f（a）+f（b）=2结合奇函数的性质可得f（﹣b）=﹣f（b），从而可求
【解答】解：（1）由可得函数的定义域（﹣1，1），关于原点对称
∵=故函数f（x）为奇函数
（2）∵f（a）+f（b）==
==
∴
（3）∵=1
∴f（a）+f（b）=1
=2
∴f（a）+f（﹣b）=2
∵f（﹣b）=﹣f（b），
∴f（a）﹣f（b）=2，解得：
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域的求解，函数的奇欧性的判断及利用对数的基本运算性质证明等式，属于对数知识的综合应用．