1.1.1 命题 课件4
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课件39张PPT。第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题命题及相关概念
(1)定义:在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以_______
___的陈述句.
(2)分类
(3)形式:命题“若p，则q”，其中p叫做命题的_____，q叫做命
题的_____.真命题：判断为___的语句.
假命题：判断为___的语句.判断真假真假条件结论1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句“陈述句都是命题”不是命题.( )
(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题.( )
(3)“平行四边形的对角线互相平分”可以看作是“若p，则q”形式的命题.( )【解析】(1)错误.命题可以判断真假.该语句可以判断真假，
是命题.
(2)正确.“实数的平方是非负数”这个陈述句能判断真假且判断为真，故这种说法是正确的.
(3)正确.平行四边形的对角线互相平分写成“若p，则q”的形式的命题为“若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”.
答案:(1)× (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)下列两个语句是命题的是 .
①0是自然数；②温度是向量吗？
(2)命题“8>10”是 命题(填“真”或“假”).
(3)若a与b是无理数，则ab是无理数，其中该命题的条件
是 ，结论是 .【解析】(1)“0是自然数”可以判断真假，“温度是向量吗”不是陈述句.故①是命题，②不是命题.
答案:①
(2)8>10显然是错误的，故该命题是假命题.
答案:假
(3)“若p，则q”形式的命题，其中p是条件，q是结论，因此原命题中“a与b是无理数”是条件，“ab是无理数”是结论.
答案:a与b是无理数 ab是无理数【要点探究】
知识点 命题的概念及构成形式
1.对命题概念理解的两个关注点
(1)命题首先必须是陈述句，对于疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(2)命题是对一个结论的判断，所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断，这个判断可能正确，也可能错误.所以不能认为只有真命题才是命题，假命题不是命题.2.对命题构成形式“若p，则q”的两点说明
(1)任何命题都有条件和结论，数学中，一些命题表面上看不具有“若p，则q”的形式，如“对顶角相等”，但是适当改变叙述方式，就可以写成“若p，则q”的形式，即“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.这样，命题的条件和结论就十分清楚了.
(2)一般地，在命题中，已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”.【知识拓展】唐代诗人王维的诗句与数学中的命题的关系
“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的诗句为“红豆生南国”.因为“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题；“春来发几枝”中的“几”是概数，无法判断其真假，故不是命题；“愿君多采撷”是祈使句，所以不是命题；“此物最相思”不能判断真假，故不是命题.
【微思考】
(1)陈述句一定是命题吗？
提示:不一定，命题虽然是陈述句，但陈述句不一定是命题，如“瑞雪兆丰年”，这句话表达的是一种可能性，但不具有确定性，所以不是命题.
(2)任何一个命题都可以写成“若p，则q”的形式吗？
提示:并不是所有的命题都可以写成“若p，则q”的形式，比如“3>2”这个命题就没法写成“若p，则q”的形式.【即时练】
1.下列语句中是命题的是( )
A. 是无限不循环小数 B.6x≤9
C.什么是“温室效应” D.给我把门打开！
2.判断下列语句是否是命题，并说明理由.
①若a与b是无理数，则a+b是无理数；
②梯形是不是平面图形呢？
③x2-x+7>0.【解析】1.选A.A是陈述句且能判断真假，故A是命题；
B不能判断真假，因此B不是命题；而C，D不是陈述句，故C，D不是命题.
2.①“若a与b是无理数，则a+b是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.
②“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题.
③因为可以判断“x2-x+7>0”是真的，故它是命题. 【题型示范】
类型一 命题的构成形式
【典例1】
(1)命题“若x，y都是奇数，则x+y是偶数”的条件为 ，
结论为 .
(2)把下列命题改写为“若p，则q”的形式，指出条件和结论:
①直角三角形的两个锐角互余.
②正弦值相等的两个角的终边相同.【解题探究】1.题(1)中的命题是“若p，则q”的形式吗？p与q分别对应命题中的什么内容？
2.题(2)中要把命题改写为“若p，则q”的形式，关键是要确定什么？
【探究提示】1.该命题是“若p，则q”的形式，p对应“x，y都是奇数”，q对应“x+y是偶数”.
2.关键是确定命题的条件与结论各是什么.【自主解答】(1)命题“若x，y都是奇数，则x+y是偶数”的条件为“x，y都是奇数”，结论为“x+y是偶数”.
答案:x，y都是奇数 x+y是偶数
(2)①“若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余”，条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”.
②“若两个角的正弦值相等，则它们的终边相同”，条件是“两个角的正弦值相等”，结论是“它们的终边相同”.【延伸探究】把题(2)中的命题改为以下形式:
①两个锐角互余的三角形是直角三角形.
②终边相同的两个角的正弦值相等.
求解的问题不变，结论如何？
【解析】①“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”，条件是“一个三角形的两个锐角互余”，结论是“这个三角形是直角三角形”.
②“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相等”，条件是“两个角的终边相同”，结论是“它们的正弦值相等”.【方法技巧】
1.将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则2.命题改写中的注意点
若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式.【变式训练】将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
(1)当a>b时，ac>bc.
(2)同弧所对的圆周角不相等.
【解题指南】解答此类问题时首先确定命题的条件p与结论q，然后再写成“若p，则q”的形式.
【解析】(1)若a>b，则ac>bc.
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等.【补偿训练】指出下列命题的条件与结论并写成“若p，则q”的形式:
(1)平行四边形的两条对角线互相垂直.
(2)平行于同一平面的两条直线互相平行.【解析】(1)命题的条件是四边形是平行四边形，结论是:两条对角线互相垂直.写成“若p，则q”的形式为:若四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直.
(2)条件:两条直线平行于同一平面，
结论:它们互相平行，
若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行.类型二 命题真假判断
【典例2】
(1)“方程x2+x+1=0有实根”是 命题(填“真”或“假”).
(2)判断下列命题的真假:
①已知a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则a+b≠c+d；
②空集是任何集合的真子集；
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行.【解题探究】1.题(1)中方程x2+x+1=0的判别式是大于0还是小于0？该方程有实根吗？
2.题(2)中判断一个命题是假命题或真命题的关键是什么？
【探究提示】1.方程的判别式Δ=12-4=-3，故判别式小于0，该方程无实根.
2.判断一个命题是假命题只需举一反例即可，要说明某个命题是真命题，必须用学过的公式定理加以证明.【自主解答】(1)因为Δ=1-4=-3<0，所以方程x2+x+1=0无实根，因此原命题是假命题.
答案:假
(2)①假命题.反例:1≠4或5≠2，而1+5=4+2.
②假命题.空集是任何非空集合的真子集.
③假命题.反例:有可能互相垂直.【方法技巧】判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可.【变式训练】“常数列是等差数列”是 命题，“常数列是等比数列”是 命题.(填“真”或“假”)
【解析】“常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题.
答案:真 假【补偿训练】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.
(2)菱形的对角线相等且互相平分.
【解析】(1)此命题可改写为:“若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等”.此命题是真命题.
(2)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，改写为:“若一个四边形是菱形，则它的对角线相等且互相平分”.此为假命题.【误区警示】解答本题(2)易出现把命题的条件写成“菱形的对角线相等”，结论写成“它的对角线互相平分”的错误，导致出现这种错误的原因是对“若p，则q”形式的命题理解不透所致.【拓展类型】由命题真假求参数范围
【备选例题】(1)命题“f(x)=ax是增函数”是真命题，则a的取
值范围是 .
(2)已知命题P:lg(x2-2x-2)≥0；命题Q:1-x+ <1，若命题P是
真命题，命题Q是假命题，求实数x的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ax是增函数，所以a＞1.
答案：a＞1
(2)由lg(x2-2x-2)≥0，得x2-2x-2≥1，
即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3.
由 得x2-4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题P为真命题，命题Q为假命题，
所以 解得x≤-1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(-∞，-1]∪[4，+∞).【方法技巧】由命题的真假求参数取值范围的技巧
一般地，若命题Q是假命题，那么命题非Q就是真命题，它们
的交集为 ，并集为全集R，实质上当命题Q是假命题时，可先求
出命题Q为真命题时的解集，然后求其补集即命题Q为假命题时
的解集即可.【易错误区】忽视命题的条件以及平面向量的运算而致误
【典例】设p:平面向量a，b，c互不共线，q表示下列不同的结论:
(1)|a+b|<|a|+|b|.(2)a·b=|a|·|b|.
(3)(a·b)c-(a·c)b与a垂直.(4)(a·b)c=a(b·c).
其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是 .【解析】由于p:平面向量a，b，c互不共线，则必有|a+b|＜|a|+|b|，(1)正确；
由于a·b=|a||b|cos θ＜|a||b|，(2)不正确；
由于
[(a·b)c-(a·c)b]·a=(a·b)(c·a)-(a·c)(b·a)=0①，
所以(a·b)c-(a·c)b与a垂直，(3)正确；由平面向量的数量积的定义知，(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，且a，b，c互不共线，
故(a·b)c≠a(b·c)②，(4)不正确.
综上可知真命题的序号是(1)(3).
答案：(1)(3)【常见误区】【防范措施】
1.注意命题的条件与结论
若一个命题具备所给的条件，一定能得到所给的结论，它就是真命题；若不一定能或一定不能得到所给的结论，那么就是假命题，如本例命题的条件是判断命题的结论是否成立的重要前提.
2.平面向量的概念与运算要明确
平面向量与数量积的概念及运算尤其是与实数运算的不同，这是避免判断命题真假出错的关键，如本例(4)是错误的，根据数量积的定义可判断.【类题试解】在 上填上适当的语句，使其成为真命题:
(1)若 ，则a+b>0.
(2)若a·b=0，则 .
【解析】(1)若a>0，b>0(或a>-b)，则a+b>0.
(2)若a·b=0，则a=0或b=0或a⊥b.
答案:(1)a>0，b>0(或a>-b)(填一种情形即可)
(2)a=0或b=0或a⊥b(三种情形必须填全面)
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题命题及相关概念
(1)定义:在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以_______
___的陈述句.
(2)分类
(3)形式:命题“若p，则q”，其中p叫做命题的_____，q叫做命
题的_____.真命题：判断为___的语句.
假命题：判断为___的语句.判断真假真假条件结论1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句“陈述句都是命题”不是命题.( )
(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题.( )
(3)“平行四边形的对角线互相平分”可以看作是“若p，则q”形式的命题.( )【解析】(1)错误.命题可以判断真假.该语句可以判断真假，
是命题.
(2)正确.“实数的平方是非负数”这个陈述句能判断真假且判断为真，故这种说法是正确的.
(3)正确.平行四边形的对角线互相平分写成“若p，则q”的形式的命题为“若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”.
答案:(1)× (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)下列两个语句是命题的是 .
①0是自然数；②温度是向量吗？
(2)命题“8>10”是 命题(填“真”或“假”).
(3)若a与b是无理数，则ab是无理数，其中该命题的条件
是 ，结论是 .【解析】(1)“0是自然数”可以判断真假，“温度是向量吗”不是陈述句.故①是命题，②不是命题.
答案:①
(2)8>10显然是错误的，故该命题是假命题.
答案:假
(3)“若p，则q”形式的命题，其中p是条件，q是结论，因此原命题中“a与b是无理数”是条件，“ab是无理数”是结论.
答案:a与b是无理数 ab是无理数【要点探究】
知识点 命题的概念及构成形式
1.对命题概念理解的两个关注点
(1)命题首先必须是陈述句，对于疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(2)命题是对一个结论的判断，所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断，这个判断可能正确，也可能错误.所以不能认为只有真命题才是命题，假命题不是命题.2.对命题构成形式“若p，则q”的两点说明
(1)任何命题都有条件和结论，数学中，一些命题表面上看不具有“若p，则q”的形式，如“对顶角相等”，但是适当改变叙述方式，就可以写成“若p，则q”的形式，即“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.这样，命题的条件和结论就十分清楚了.
(2)一般地，在命题中，已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”.【知识拓展】唐代诗人王维的诗句与数学中的命题的关系
“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的诗句为“红豆生南国”.因为“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题；“春来发几枝”中的“几”是概数，无法判断其真假，故不是命题；“愿君多采撷”是祈使句，所以不是命题；“此物最相思”不能判断真假，故不是命题.
【微思考】
(1)陈述句一定是命题吗？
提示:不一定，命题虽然是陈述句，但陈述句不一定是命题，如“瑞雪兆丰年”，这句话表达的是一种可能性，但不具有确定性，所以不是命题.
(2)任何一个命题都可以写成“若p，则q”的形式吗？
提示:并不是所有的命题都可以写成“若p，则q”的形式，比如“3>2”这个命题就没法写成“若p，则q”的形式.【即时练】
1.下列语句中是命题的是( )
A. 是无限不循环小数 B.6x≤9
C.什么是“温室效应” D.给我把门打开！
2.判断下列语句是否是命题，并说明理由.
①若a与b是无理数，则a+b是无理数；
②梯形是不是平面图形呢？
③x2-x+7>0.【解析】1.选A.A是陈述句且能判断真假，故A是命题；
B不能判断真假，因此B不是命题；而C，D不是陈述句，故C，D不是命题.
2.①“若a与b是无理数，则a+b是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.
②“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题.
③因为可以判断“x2-x+7>0”是真的，故它是命题. 【题型示范】
类型一 命题的构成形式
【典例1】
(1)命题“若x，y都是奇数，则x+y是偶数”的条件为 ，
结论为 .
(2)把下列命题改写为“若p，则q”的形式，指出条件和结论:
①直角三角形的两个锐角互余.
②正弦值相等的两个角的终边相同.【解题探究】1.题(1)中的命题是“若p，则q”的形式吗？p与q分别对应命题中的什么内容？
2.题(2)中要把命题改写为“若p，则q”的形式，关键是要确定什么？
【探究提示】1.该命题是“若p，则q”的形式，p对应“x，y都是奇数”，q对应“x+y是偶数”.
2.关键是确定命题的条件与结论各是什么.【自主解答】(1)命题“若x，y都是奇数，则x+y是偶数”的条件为“x，y都是奇数”，结论为“x+y是偶数”.
答案:x，y都是奇数 x+y是偶数
(2)①“若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余”，条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”.
②“若两个角的正弦值相等，则它们的终边相同”，条件是“两个角的正弦值相等”，结论是“它们的终边相同”.【延伸探究】把题(2)中的命题改为以下形式:
①两个锐角互余的三角形是直角三角形.
②终边相同的两个角的正弦值相等.
求解的问题不变，结论如何？
【解析】①“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”，条件是“一个三角形的两个锐角互余”，结论是“这个三角形是直角三角形”.
②“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相等”，条件是“两个角的终边相同”，结论是“它们的正弦值相等”.【方法技巧】
1.将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则2.命题改写中的注意点
若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式.【变式训练】将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
(1)当a>b时，ac>bc.
(2)同弧所对的圆周角不相等.
【解题指南】解答此类问题时首先确定命题的条件p与结论q，然后再写成“若p，则q”的形式.
【解析】(1)若a>b，则ac>bc.
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等.【补偿训练】指出下列命题的条件与结论并写成“若p，则q”的形式:
(1)平行四边形的两条对角线互相垂直.
(2)平行于同一平面的两条直线互相平行.【解析】(1)命题的条件是四边形是平行四边形，结论是:两条对角线互相垂直.写成“若p，则q”的形式为:若四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直.
(2)条件:两条直线平行于同一平面，
结论:它们互相平行，
若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行.类型二 命题真假判断
【典例2】
(1)“方程x2+x+1=0有实根”是 命题(填“真”或“假”).
(2)判断下列命题的真假:
①已知a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则a+b≠c+d；
②空集是任何集合的真子集；
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行.【解题探究】1.题(1)中方程x2+x+1=0的判别式是大于0还是小于0？该方程有实根吗？
2.题(2)中判断一个命题是假命题或真命题的关键是什么？
【探究提示】1.方程的判别式Δ=12-4=-3，故判别式小于0，该方程无实根.
2.判断一个命题是假命题只需举一反例即可，要说明某个命题是真命题，必须用学过的公式定理加以证明.【自主解答】(1)因为Δ=1-4=-3<0，所以方程x2+x+1=0无实根，因此原命题是假命题.
答案:假
(2)①假命题.反例:1≠4或5≠2，而1+5=4+2.
②假命题.空集是任何非空集合的真子集.
③假命题.反例:有可能互相垂直.【方法技巧】判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可.【变式训练】“常数列是等差数列”是 命题，“常数列是等比数列”是 命题.(填“真”或“假”)
【解析】“常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题.
答案:真 假【补偿训练】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.
(2)菱形的对角线相等且互相平分.
【解析】(1)此命题可改写为:“若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等”.此命题是真命题.
(2)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，改写为:“若一个四边形是菱形，则它的对角线相等且互相平分”.此为假命题.【误区警示】解答本题(2)易出现把命题的条件写成“菱形的对角线相等”，结论写成“它的对角线互相平分”的错误，导致出现这种错误的原因是对“若p，则q”形式的命题理解不透所致.【拓展类型】由命题真假求参数范围
【备选例题】(1)命题“f(x)=ax是增函数”是真命题，则a的取
值范围是 .
(2)已知命题P:lg(x2-2x-2)≥0；命题Q:1-x+ <1，若命题P是
真命题，命题Q是假命题，求实数x的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ax是增函数，所以a＞1.
答案：a＞1
(2)由lg(x2-2x-2)≥0，得x2-2x-2≥1，
即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3.
由 得x2-4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题P为真命题，命题Q为假命题，
所以 解得x≤-1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(-∞，-1]∪[4，+∞).【方法技巧】由命题的真假求参数取值范围的技巧
一般地，若命题Q是假命题，那么命题非Q就是真命题，它们
的交集为 ，并集为全集R，实质上当命题Q是假命题时，可先求
出命题Q为真命题时的解集，然后求其补集即命题Q为假命题时
的解集即可.【易错误区】忽视命题的条件以及平面向量的运算而致误
【典例】设p:平面向量a，b，c互不共线，q表示下列不同的结论:
(1)|a+b|<|a|+|b|.(2)a·b=|a|·|b|.
(3)(a·b)c-(a·c)b与a垂直.(4)(a·b)c=a(b·c).
其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是 .【解析】由于p:平面向量a，b，c互不共线，则必有|a+b|＜|a|+|b|，(1)正确；
由于a·b=|a||b|cos θ＜|a||b|，(2)不正确；
由于
[(a·b)c-(a·c)b]·a=(a·b)(c·a)-(a·c)(b·a)=0①，
所以(a·b)c-(a·c)b与a垂直，(3)正确；由平面向量的数量积的定义知，(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，且a，b，c互不共线，
故(a·b)c≠a(b·c)②，(4)不正确.
综上可知真命题的序号是(1)(3).
答案：(1)(3)【常见误区】【防范措施】
1.注意命题的条件与结论
若一个命题具备所给的条件，一定能得到所给的结论，它就是真命题；若不一定能或一定不能得到所给的结论，那么就是假命题，如本例命题的条件是判断命题的结论是否成立的重要前提.
2.平面向量的概念与运算要明确
平面向量与数量积的概念及运算尤其是与实数运算的不同，这是避免判断命题真假出错的关键，如本例(4)是错误的，根据数量积的定义可判断.【类题试解】在 上填上适当的语句，使其成为真命题:
(1)若 ，则a+b>0.
(2)若a·b=0，则 .
【解析】(1)若a>0，b>0(或a>-b)，则a+b>0.
(2)若a·b=0，则a=0或b=0或a⊥b.
答案:(1)a>0，b>0(或a>-b)(填一种情形即可)
(2)a=0或b=0或a⊥b(三种情形必须填全面)