1.2.1 充分条件与必要条件 课件3

课件38张PPT。1.2.1　充分条件与必要条件充分条件、必要条件
(1)前提:“若p，则q”形式的命题为_______.
(2)条件:p?q.
(3)结论:p是q的_____条件，q是p的_____条件.真命题充分必要1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.(　　)
(2)若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的充分条件.(　　)
(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　　)【解析】(1)正确.若p是q的必要条件，即p?q，所以q是p的充分条件.
(2)错误.若p是q的充分条件，即p?q，其逆否命题为﹁p?﹁q，所以﹁p是﹁q的必要条件.
(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”，所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件.
答案:(1)√　(2)×　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的　　　　条件.
(2)“a>0，b>0”是“ab>0”的　　　　条件.
(3)“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的　　　　条件.【解析】(1)由题意知p?q，q?r，故p?r，所以p是r的充分条件.
答案:充分
(2)当a>0，b>0时，显然ab>0成立，故“a>0，b>0”是“ab>0”的充分条件
答案:充分
(3)因为“若p，则q”的逆命题为真，即“若q，则p”为真，所以q?p，即p是q的必要条件.
答案:必要 【要点探究】
知识点 充分条件与必要条件
1.对充分条件的理解
充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件
时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就
足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立.例如，x=6
?x2=36，但是，当x≠6时，x2=36也可以成立，所以“x=6”是“x2
=36成立”的充分条件.2.对必要条件的两点说明
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q?p，若有q，则必须有p；而具备了p，则不一定有q.【微思考】
(1)若p是q的充分条件，p是惟一的吗？
提示:不一定惟一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等都是x>0的充分条件.
(2)“若﹁p，则﹁q”为真命题，则p是q的什么条件？
提示:“若﹁p，则﹁q”为真命题，则其逆否命题“若q，则p”也为真命题，即q?p，故p是q的必要条件.【即时练】
1.已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的　　　　条件，“x∈B”是“x∈A”的　　　　条件.
2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么:
(1)s是q的什么条件？
(2)p是q的什么条件？【解析】1.因为A?B，由子集的定义知x∈A?x∈B，故“x∈
A”是“x∈B”的充分条件；“x∈B”是“x∈A”的必要条件.
答案:充分　必要
2.(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充分也是必要条件.
(2)因为q?s?r?p，所以p是q的必要条件. 【题型示范】
类型一 充分条件与必要条件的判断
【典例1】
(1)已知:p:x>1；q:x>2；则p是q的(　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确(2)下列各题中，p是q的什么条件？
①p:α= ；q:cosα= ；②p:(x+1)(x-2)=0；q:x+1=0.【解题探究】1.题(1)中“若x>1，则x>2”，此命题正确吗？逆命
题呢？
2.题(2)①命题“若α= ，则cosα= ”是真命题吗？逆命题呢？
②若实数x满足方程(x+1)(x-2)=0，是否还一定满足方程x+1=0？【探究提示】1.命题“若x>1，则x>2”不正确，如x=1.5满足x>1，
但x>2不成立；逆命题是正确的.
2.①命题“若α= ，则cosα= ”是真命题，但逆命题为假命
题.
②若x满足方程(x+1)(x-2)=0，则x不一定满足方程x+1=0；如x=2
满足方程(x+1)(x-2)=0，但不满足x+1=0.【自主解答】(1)选B.因为x>1 x>2，但x>2?x>1，
所以p q，但q?p，
所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
(2)①因为α= ?cosα= ，但cosα= α= ，
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
②因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0，但x+1=0?(x+1)(x-2)=0，所
以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件，谁是结论.
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法:①如果命题:“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.
②如果命题:“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.【变式训练】已知p:|x|=|y|，q:x=y，则p是q的什么条件？
【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|，则
x=y”及逆命题是否成立，原命题成立p是q的充分条件，逆命题
成立p是q的必要条件.
【解析】由于|x|=|y| x=y，比如x=-1，y=1时，|x|=|y|，但
x≠y；
但x=y?|x|=|y|，故p q，但q?p.
所以p是q的必要条件，但不是充分条件.【补偿训练】“m= ”是直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+
(m+2)y-3=0相互垂直的　　　　条件.
【解析】当m= 时显然两直线垂直，而当两直线垂直时需
(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0，即m= 或m=-2，
因此，m= 是两直线垂直的充分条件但不是必要条件.
答案:充分条件但不是必要类型二 充分条件与必要条件的应用
【典例2】
(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件，则a=　　　　.
(2)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件，那么x=1是x2+ax+2=0的什么条件，x=1是方程x2+ax+2=0的根吗？
2.题(2)中若不等式4x+p<0与x2-x-2>0的解集分别为A，B，那么根据条件判断A与B有何关系？
【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件，且x=1是方程x2+ax+2=0的根.
2.若4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件，则A?B.【自主解答】(1)由x2+ax+2=0是x=1的必要条件，知x=1是方程x2+ax+2=0的根，代入解得a=-3.
答案:-3
(2)由x2-x-2>0?x>2或x<-1；4x+p<0?x<- ，
当- ≤-1，即p≥4时，x<- ≤-1?x<-1?x2-x-2>0，
故当p≥4时，4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.【延伸探究】本例(2)中若换为:是否存在实数p使4x+p<0是x2-
x-2>0的必要条件？如果存在，求出p的范围，若不存在，请说明理
由.
【解析】由于x2-x-2>0 4x+p<0，所以不存在实数p使4x+p<0
是x2-x-2>0的必要条件.【方法技巧】充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式(组)，再进行求解.【变式训练】已知“x＞k”是“ ＜1”的充分条件，则k的取值范围是_______.
【解析】由 ＜1得， ＜0，即 ＞0，解得x＞2或
x＜-1.
又“x＞k”是“ ＜1”的充分条件，故k≥2.
答案：[2，+∞)【补偿训练】已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0，且p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的值.
【解析】p:x∈{x|x2+x-6=0}，即p:x∈{2，-3}，
q:x∈{x|mx+1=0}，
因为p是q的必要条件，但不是充分条件，
所以{x|mx+1=0} {2，-3}.
所以当{x|mx+1=0}=?时成立，即m=0；当{x|mx+1=0}≠?时，x=
当 时， 当 时，
所以 或 或m=0. 【拓展类型】用集合法判断充分条件与必要条件
【备选例题】(1)p:A={x|x是正方形}，q:B={x|x是菱形}，则p是q的________条件.
(2)下列各题中，p是q的什么条件？
①p:A={x|x(x-1)＜0}，q:B={x|0＜x＜3}.
②p:A={x|1＜2x＜2}，q:【解析】(1)因为正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，
所以p是q的充分不必要条件.
答案：充分不必要
(2)①由集合A得，0＜x＜1，所以A? B，
所以p是q的充分不必要条件.
②由集合A得，0＜x＜1，
由集合B得
所以B? A，所以p是q的必要不充分条件.【方法技巧】从集合的包含关系看充分条件、必要条件
若不等式p，q对应的集合分别为P，Q，利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为:
①若P?Q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
②若p是q的充分条件，即p?q，相当于P?Q，即:要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行；为使x∈P成立，必须要使x∈Q——缺它不可.【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误
【典例】已知P={x|a-4数a的取值范围是　　　　　　.【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是
充分条件，
所以Q? P，
因为a+4-(a-4)=8＞3-1=2.
所以
即
所以-1≤a≤5.
答案：[-1，5]【常见误区】【防范措施】
1.集合关系中等号的处理
在已知两集合间的关系求参数的值或范围时，等号问题常有以下两种处理方法:一是借助数轴分析法，二是假设等号成立求出字母的值，再验证其是否符合题意.如本例中a-4≤1，a+4≥3都能够取到等号.
2.转化思想的应用
在由充分和必要条件转化为集合间的关系时，要分清是包含关系还是真包含关系，如本例应是Q P.【类题试解】已知p:-2≤x≤10，q:x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若q是p的充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围为_______.【解析】p:-2≤x≤10.
由q:x2-2x+1-m2≤0得[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m>0)，即1-m
≤x≤1+m(m>0).
因为q是p的充分条件但不是必要条件，
即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10}，
故有
解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为0答案:0