1.3 简单的逻辑联结词 课件2

课件54张PPT。1.3
简单的逻辑联结词1.用逻辑联结词构成新命题p∧qp∨q﹁p2.含逻辑联结词的命题的真假判断真真假真假假真假真假假真1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.(　　)
(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.(　　)
(3)命题“p∨(﹁p)”是真命题.(　　)
(4)梯形的对角线相等且平分是“p∨q”的形式命题.(　　)【解析】(1)错误，逻辑联结词“且”“或”联结的是两个命题，而不是只联结两个命题的条件或结论.
(2)错误，“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充分不必要条件.
(3)正确，由于命题p与﹁p一真一假，所以“p∨(﹁p)”是真命题.
(4)错误，梯形的对角线相等且平分是“p∧q”形式命题，而不是“p∨q”形式命题.
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)命题“3≤3”的构成形式是　　　　；该命题是　　　　命
题.(填“真”或“假”)
(2)若p真q假，则下列命题是真命题的是　　　　.
①p∨q；②p∧q；③﹁p；④﹁q.
(3)“菱形的对角线垂直平分”写成p∧q形式命题为　　　　.【解析】(1)命题3≤3，即3<3或3=3，故此命题为p∨q形式命题，为真命题.
答案:p∨q　真
(2)因为p真q假，故p∨q真，p∧q假，﹁p假，﹁q真.
答案:①④
(3)菱形的对角线垂直平分，即菱形的对角线互相垂直且互相平分.
答案:菱形的对角线互相垂直且互相平分【要点探究】
知识点 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.从交集、串联电路看“且”命题
(1)对于逻辑联结词“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，即A∩B={x︱x∈A且x∈B}，二者含义是一致的，都表示“既…，又…”的意思.(2)对于含有逻辑联结词“且”的命题
真假的判断，可以联系电路中两个串联
开关的闭合或断开与电路的通或断的对
应加以理解(如图所示).2.从并集、并联电路看“或”命题
(1)对于逻辑联结词“或”的理解，可联系集合中“并集”的概念，即A∪B={x︱x∈A或x∈B}，二者含义是一致的，如果p:集合A；q:集合B；则p∨q:集合A∪B.
“或”包含三个方面:
x∈A且x?B，x?A且x∈B，x∈A∩B.(2)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判
断，可以联系电路中两个并联开关的闭合或断开
与电路的通或断的对应加以理解(如图所示).3.从补集及电路看“非”命题
(1)“非”:从集合的角度看，若设P={x|x满足命题p}，则“?p”
对应于集合P在全集U中的补集 ={x|x∈U，且x?P}，p与
“?p”的真假关系:真假对立.(2)“?p”:从电学来讲，“?p”相当于一
个电路断开时的情形，p与?p的真假关系:
真假相反，即p为真时，?p为假；p为假时，
?p为真 (如图所示).【知识拓展】简单命题与复合命题
　　不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题，因此就有“p∧q”“p∨q”“?p”形式的复合命题，其中p，q是简单命题，由简单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或” “非”的理解.【微思考】
(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
提示:生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不必须兼有.
(2)若p∧q为真命题，那么p∨q一定为真命题吗？反之是否成立？
提示:p∧q为真命题，说明p真、q真，故p∨q一定是真命题.反之不一定成立，即若p∨q为真命题，p∧q不一定为真命题，比如p真q假时，p∨q真，但p∧q假.【即时练】
1.已知p:2+3=5，q:5<4，则下列判断正确的是(　　)
A.p为假命题 B.q为真命题
C.p∨q为真命题 D.p∧q为真命题
2.命题p:“三角函数y=sin5x的周期为2π.”则?p:　　　　　　　　　　.【解析】1.选C.因为p真q假，所以p∨q为真命题，p∧q为假命题.
2.?p即为命题的否定，故?p为“三角函数y=sin5x的周期不是2π”.
答案:三角函数y=sin5x的周期不是2π【题型示范】
类型一 用逻辑联结词构造新命题
【典例1】
(1)命题“1不是素数且不是合数”中使用的逻辑联结词是　　　　　，所以此命题是　　　　　形式命题.(2)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的命题:
①p:π是无理数，q:e不是无理数；
②p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，q:方程x2+2x+1=0的两根的绝对值相等；
③p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【解题探究】1.题(1)的命题中出现逻辑联结词“且”“或”“非”了吗？若出现，是什么形式命题？
2.题(2)中写出由p，q构成的p∧q，p∨q，?p的新命题的关键是什么？
【探究提示】1.命题中出现了逻辑联结词“且”，是p且q形式命题.
2.关键是用“且”“或”“非”联结.【自主解答】(1)命题使用“且”，是“p且q”形式的命题.
答案:且　p且q
(2)①“p∨q”:π是无理数或e不是无理数；“p∧q”:π是无理数且e不是无理数；“?p”:π不是无理数.
②“p∨q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“?p”:方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.③“p∨q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“?p”:三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.【方法技巧】用逻辑联结词构造新命题的两个步骤【变式训练】指出下列命题的形式及构成它的简单命题:
(1)96是48与16的倍数.
(2)方程x2-3=0没有有理根.
(3)不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2或x<-1}.【解题指南】正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解题的关键，有些命题不一定包含“且”“或”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义进行正确的判定.【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p:96是48的倍数，q:96是16的倍数.
(2)这个命题是“?p”的形式，其中p:方程x2-3=0有有理根.
(3)这个命题是“p∨q”的形式，其中p:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2}，q:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1}.【补偿训练】分别指出下列命题的形式及构成它的命题.
(1)相似三角形周长相等或对应角相等.
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧.
(3)有两个角相等的三角形相似或有两条边相等的三角形相似.【解析】(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p:相似三角形周长相等，q:相似三角形对应角相等.
(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p:垂直于弦的直径平分这条弦，q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
(3)这个命题是“p∨q”的形式，其中p:有两个角相等的三角形相似，q:有两条边相等的三角形相似.类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断
【典例2】
(1)两直线平行，同位角相等且内错角相等是　　　　(填“真”或“假”)命题.
(2)分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假.
①p:函数y=x2和函数y=2x的图象有两个交点；
q:函数y=2x是增函数.
②p:7>7；q:7=7.【解题探究】1.题(1)中构成此命题的简单命题p，q，各是什么？它们的真假如何？
2.题(2)①②中的p，q是真命题还是假命题？
【探究提示】1.构成此命题的简单命题p，q分别为两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等，均为真命题.
2.题①中，p是假命题，q是真命题，题②中，p是假命题，q是真命题.【自主解答】(1)“两直线平行，同位角相等且内错角相等”是p且q形式的命题，因为p，q都是真命题，所以p且q是真命题.
答案:真
(2)①因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题；非p为真命题.
②因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题；p或q为真命题；非p为真命题.【延伸探究】在题(2)条件不变的前提下，对①判断“?p且q”“?q或p”的真假；对②判断“p且?q”“p或?q”“?p且?q”“?p或?q”的真假.【解析】①因为命题p是假命题，命题q是真命题；所以?p是真命题， ?q是假命题，即?p且q为真命题， ?q或p为假命题.
②因为命题p是假命题，命题q是真命题，
所以?p是真命题， ?q是假命题，
所以p且?q为假命题；p或?q为假命题；?p且?q为假命题；?p或?q为真命题.【方法技巧】判断“p且q”“p或q”“非p”命题真假的两个步骤【变式训练】设a，b，c是非零向量，已知命题p:若a·b=0，b·c=0，则a·c=0；命题q:若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是　(　　)
A.p∨q B.p∧q
C.(?p)∧(?q) D.p∨(?q)【解题指南】先判断命题p和命题q的真假，结合复合命题p∨q，p∧q， ?p的真假判断方法得出答案.
【解析】选A.当非零向量a，c方向相同且都和非零向量b垂直时，结论a·b=0，b·c=0成立，但是a·c=0不成立，可知命题p是假命题，命题?p是真命题；
易知命题q为真命题，命题?q是假命题.
结合复合命题p∨q，p∧q， ?p的真假判断方法知，选项A正确.【补偿训练】分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q” “?p”形式的命题的真假.
(1)p:梯形有一组对边平行；q:梯形有一组对边相等.
(2)p:1是方程x2-4x+3=0的根；q:3是方程x2-4x+3=0的根.
(3)p:不等式x2-2x+1>0的解集为R；q:不等式x2-2x+2≤1的解集为?.【解析】(1)因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题， ?p为假命题.
(2)因为命题p，q均为真命题，
所以p∧q为真命题，p∨q为真命题，?p为假命题.
(3)因为命题p中x2-2x+1>0的解集为{x|x∈R且x≠1}，所以命题p为假命题，
又因为当x=1时，不等式x2-2x+2≤1成立，
所以命题q为假命题.
所以p∧q为假命题，p∨q为假命题，?p为真命题.类型三 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的范围
【典例3】
(1)已知c>0且c≠1，设p:函数y=cx在R上单调递减；q:关于x的不等式x2+x+c>0的解集为R.如果“p∧q”为真，则c的取值范围是　　　　.
(2)已知:p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围.【解题探究】1.题(1)中p真应满足的充要条件是什么？q真应满足的充要条件是什么？
2.题(2)中“p∨q”为真，“p∧q”为假，此时p，q的真假有几种情况？
【探究提示】1.p真应满足的充要条件是02.p，q的真假情况有两种:一种是p真q假，另一种是p假q真.【自主解答】(1)对于命题p:函数y=cx在R上单调递减?0对于命题q:关于x的不等式x2+x+c>0的解集为R?Δ=1-4c<0
?c> .
因为p∧q为真，所以p，q均为真，故 答案: ?m>2.
q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根
?Δ=16(m-2)2-16<0?1所以?p:m≤2，?q:m≤1或m≥3.
因为“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，
所以p为真且q为假，或p为假且q为真.①当p为真且q为假时，即p为真且?q为真，
所以 解得m≥3；
②当p为假且q为真时，即?p为真且q为真，
所以 解得1综上所述，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).【方法技巧】应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.
(2)由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假.
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算.
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.【变式训练】设命题p:函数f(x)=logax在(0，+∞)上单调递增，
命题q:关于x的方程x2+2x+loga =0的解集只有一个子集.若
“p或q”为真，“?p或?q”也为真，求实数a的取值范围.
【解题指南】由“p或q”为真，“?p或?q”也为真可知p，q中
有一真一假，再求分别满足p真q假或p假q真时a的范围.【解析】当命题p是真命题时，a>1；当命题q是真命题时，关于x
的方程x2+2x+loga =0无解，所以Δ=4-4loga <0，解得1由于“p或q”为真，所以p和q中至少有一个为真，又“?p或?q”
也为真，所以?p或?q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为
假，故p和q中一真一假.p假q真时，a无解；p真q假时，a≥ .
综上所述，实数a的取值范围是a≥ .【补偿训练】已知下列两个命题:p:函数y=x2-2mx+4(x∈R)在[2，+∞)上单调递增；q:关于x的不等式4x2+4(m -2)x+1>0(m∈R)的解集为R，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围.
【解析】p:m≤2，则?p:m>2；q:1由题知p，q一真一假，若p真q假，
则m≤1，若p假q真，则2综上，m的取值范围是m≤1或2【典例】(12分)设命题p:关于x的函数y=(a-1)x为增函数；命题q:不等式-3x≤a对一切正实数均成立.
若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:记不准确含逻辑联结词的命题真假的判断规律，则会导致①处判断出错，致使最多得4分.
失分点2:忽略②处对p，q命题的真假情况讨论，则会导致本例答案出错，致使最多得6分.【悟题】提措施，导方向
1.关注命题真假的判断规律
对于含有联结词的命题的真假的判断，要根据“p且q”“p或q”的真假判断p，q的真假，如本例就是由“p∨q”为真“p∧q”为假，判断出p，q一真一假.
2.注重分类讨论的意识
在解决问题时，当出现不同情况时要注意分类讨论.如本例中“p，q一真一假”，并未点明p和q谁真谁假，自然想到分类讨论.【类题试解】已知p:不等式mx2+1>0的解集是R；q:f(x)=logmx
是减函数.若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围.
【解析】因为不等式mx2+1>0的解集是R，所以 或m=0，解
得m≥0，即p:m≥0，
又f(x)=logmx是减函数，所以0又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假.即p为真，q为假；或p
为假，q为真.
所以 得m≥1.所以m的取值范围是m≥1.