1.4.1和1.4.2 全称量词与存在量词 课件

课件47张PPT。1.4　全称量词与存在量词
1.4.1　全称量词
1.4.2　存在量词1.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“对_______”“对任意一个”在逻辑中通
常叫做全称量词，并用符号“___”表示.
(2)全称命题:含有_________的命题叫做全称命题.
(3)符号表示:符号简记为:____________
读作:对_____x属于M，有p(x)_____.所有的?全称量词?x∈M，p(x)任意成立2.存在量词与特称命题
(1)存在量词:短语“_________”“至少有一个”在逻辑中通
常叫做存在量词，并用符号“___”表示.
(2)特称命题:含有_________的命题叫做特称命题.
(3)符号表示:符号简记为:_____________，
读作:“存在一个x0属于M，使p(x0)_____”.存在一个?存在量词?x0∈M，p(x0)成立1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(　　)
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.(　　)
(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.(　　)【解析】(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词，故说法是错误的.
(2)结合全称量词和存在量词的含义知，这种说法是正确的.
(3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词，但其意义具备“任意性”或“存在性”，这类命题也是全称命题或特称命题，
如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故说法是错误的.
答案:(1)×　(2)√　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是　　　　，该量词是　　　　量词(填“全称”或“存在”).
(2)“负数没有对数”是　　　　命题(填“全称”或“特称”).
(3)全称命题“?x∈R，x2>0”是　　　　命题(填“真”或“假”).【解析】(1)命题“有些长方形是正方形”含有量词“有些”，它属于存在量词.
答案:有些　存在
(2)负数没有对数指的是所有的负数都没有对数，因此，该命题是全称命题.
答案:全称
(3)当x=0时，x2>0不成立，故命题“?x∈R，x>0”是假命题.
答案:假【要点探究】
知识点 全称命题与特称命题
1.理解全称命题及特称命题时应关注的三点
(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”.(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”.
(3)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有的”“存在”等.2.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.【知识拓展】全称命题、特称命题不同表述形式的应用【微思考】
(1)同一个全称命题的表述是否是惟一的？
提示:不惟一，对于同一个全称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要含义正确即可.(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.【即时练】
下列命题是全称命题的个数是(　　)
①任何实数都有平方根；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°，”故有三个全称命题.【题型示范】
类型一 全称命题与特称命题的判定
【典例1】
(1)命题“自然数的平方大于零”是　　　　命题(填“全称”或“特称”)，其省略的量词是　　　　.
(2)判断下列命题是全称命题，还是特称命题.
①凸多边形的外角和等于360°；
②有一个实数a，a不能取对数；
③任何数的0次方都等于1.【解题探究】1.题(1)中的自然数是指哪些数？
2.题(2)①中省略了什么量词？命题②③中分别含有什么量词？
【探究提示】1.指的是所有的自然数.
2.命题①中省略了量词“所有的”，命题②③中分别含有量词“有一个”“任何”.【自主解答】(1)自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称命题，其省略的量词是“所有的”.
答案:全称　所有的
(2)①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题；
②含有存在量词“有一个”，因此是特称命题；
③含有全称量词“任何”，故是全称命题.【延伸探究】本例(2)中的命题若换为:
①有些凸多边形的外角和等于360°；
②所有的实数a，a不能取对数.
其结论又如何呢？
【解析】命题①中含有量词“有些”，故①是特称命题，命题②中含有量词“所有”，故②是全称命题.【方法技巧】判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路【变式训练】判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)所有的合数都是偶数.
(2)有一个实数x0，使x02+x0+1=0.
(3)存在x0∈R，x02+1≥1.
(4)正方形都是矩形.【解题指南】判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有全称量词还是存在量词.
【解析】(1)全称命题.(2)特称命题.
(3)特称命题.(4)全称命题.【补偿训练】下列命题不是特称命题的是(　　)
A.有些实数的平方可以等于零
B.存在x0<0，使x02<0
C.至少有一个三角函数的周期是2π
D.二次函数都是偶函数
【解析】选D.二次函数都是偶函数意思是所有的二次函数都是偶函数，故此命题是全称命题，不是特称命题.类型二 全称命题与特称命题的真假判断
【典例2】
(1)下列四个命题中的真命题为(　　)
A.?x∈R，x2-1=0
B.?x0∈Z，3x0-1=0
C.?x∈R，x2+1>0
D.?x0∈Z，1<4x0<3(2)判断下列命题的真假.
①?x∈R，都有x2-x+1> ；
②?α0，β0，使cos(α0-β0)=cosα0-cosβ0；
③?x，y∈N，都有x-y∈N.【解题探究】1.题(1)中哪些命题是特称命题，哪些是全称命题？
2.判断全称命题为假命题的思路是什么？
【探究提示】1.题(1)中A，C是全称命题；B，D是特称命题.
2.判断全称命题为假命题的思路是找一个x0使命题不成立即可.【自主解答】(1)选C.若x2-1=0，则x=±1，A错误；
若3x-1=0，则x= ?Z，B错误；
若1<4x<3，则 D错误；
x2+1≥1>0恒成立，故选C.
(2)①真命题.因为x2-x+1- =x2-x+
所以x2-x+1> 恒成立.
②真命题.例如，α= ，β= ，符合题意.
③假命题.例如，x=1，y=5，x-y=-4?N.【方法技巧】全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x=x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)特称命题的真假判断
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x=x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.【变式训练】判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假.
(1)有一个实数α0，使tanα0无意义.
(2)任何一条直线都有斜率吗？
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.
(4)圆内接四边形，其对角互补.【解题指南】先判断命题的类型，再判断命题的真假.
【解析】(1)特称命题.α= 时，tanα不存在，所以，特称命题“有一个实数α0，使tanα0无意义”是真命题.
(2)不是命题.
(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题.又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题.(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题.【补偿训练】下列命题中，真命题是(　　)
A.?m0∈R，使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
B.?m0∈R，使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
C.?m∈R，使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.?m∈R，使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.当m=0时f(x)=x2+mx是偶函数，故A正确.类型三 含量词命题的应用
【典例3】
(1)若“?x0∈R， x02+2x0+2=m”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.
(2)已知命题p:“?x0∈R，sinx00恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.【解题探究】1.题(1)中“?x0∈R， x02+2x0+2=m”是真命题，则对应的方程的根的情况是什么？
2.题(2)中由“p∧q是真命题”能得出p与q的真假是什么？
【探究提示】1.由题意可知对应的方程有实数解，即Δ≥0.
2.由p∧q是真命题可以得出p与q均是真命题.【自主解答】(1)方法一:由于“?x0∈R， x02+2x0+2=m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2的值域，即{m|m≥1}.
方法二:依题意，方程x2+2x+2-m=0有实数解，
所以Δ=4-4(2-m)≥0，解得m≥1.
答案:[1，+∞)(2)由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
因为“?x0∈R，sinx0-1.
又因为“?x∈R，x2+mx+1>0恒成立”是真命题，
所以Δ=m2-4<0，解得-2综上所述，实数m的取值范围是(-1，2).【方法技巧】利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.
(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.【变式训练】已知命题p:x2-2x+a≥0在R上恒成立，命题q:?x0∈R， x02+2ax0+2-a=0，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.【解析】若p是真命题，则Δ=4-4a≤0，所以a≥1；
若q为真命题，则方程x2+2ax+2-a=0有实根，
所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≥1或a≤-2，
依题意得p，q一真一假，当p真q假时，得a∈?；
当p假q真时，得a≤-2.
综上所述，a的取值范围为a≤-2.【补偿训练】若命题“?x0∈R，使得x02+mx0+2m-3<0”为假命题，则m的取值范围是(　　)
A.[2，6] B.[-6，-2]
C.(2，6) D.(-6，-2)
【解析】选A.由题意知Δ=m2-4(2m-3)=m2-8m+12≤0，解得2≤m≤6，故选A.【易错误区】解题中忽略函数的定义域而致误
【典例】已知定义在(-∞，3]上的单调减函数f(x)，使f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于任意x∈R恒成立，则a的取值范围是　　　　.【解析】由函数单调性得3≥a2-sin x≥a+1+cos2x对任意x∈R
均成立，即
对任意x∈R均成立，然后转化为函数的最值问题，
解得
答案：【常见误区】【防范措施】
1.细致审题
在解题时，要认真阅读题目.弄清题目的要求及所给的条件，如本例易忽略定义域而致误.
2.恒成立问题的解决思路
一种是函数最值法；一种是参变量分离法，即f(a)≥h(x)恒成立，则只需解f(a)≥h(x)max；g(a)≤h(x)恒成立，则只需解g(a)≤ h(x)min.【类题试解】已知任意x∈(-∞，1]时，不等式1+2x+(a-a2)
·4x>0恒成立，则a的取值范围为　　　　.
【解析】令2x=t，因为x∈(-∞，1]，所以t∈(0，2]，
所以原不等式可化为:a2-a< ，要使上式在t∈(0，2]上恒成
立，只需求出f(t)= 在t∈(0，2]上的最小值即可.答案：