1.4.3 含有一个量词的命题的否定 课件1

课件38张PPT。1.4.3　
含有一个量词的命题的否定1.全称命题的否定?x0∈M， ?p(x0)特称2.特称命题的否定?x∈M， ?p(x)全称1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题?p的否定是p.(　　)
(2)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，?p(x)的真假性相反.(　　)
(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.(　　)【解析】(1)正确.命题p与?p互为否定.
(2)正确.特称命题p与其否定?p一真一假.
(3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”.
答案:(1)√　(2)√　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“至多有三个”的否定为　　　　.
(2)已知命题p:?x∈R，sinx≤1，则?p是　　　　.
(3)命题“?x0∈Q， x02=5”的否定是　　　　命题.(填“真”或“假”)【解析】(1)“至多有三个”的否定为“最少有四个”.
答案:最少有四个
(2)命题p是全称命题，其否定为?x0∈R，sinx0>1.
答案:?x0∈R，sinx0>1
(3)该命题的否定为?x∈Q，x2≠5，为真命题.
答案:真【要点探究】
知识点 全称命题与特称命题的否定
1.对全称命题的否定以及特点的理解
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题.2.对特称命题的否定以及特点的理解
(1)由于全称命题的否定是特称命题，而命题p与?p互为否定，所以特称命题的否定就是全称命题.
(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假.【知识拓展】常见词语的否定【微思考】
(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？
提示:不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形.”它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形.”也可以是“有些菱形不是平行四边形.”(2)对省略量词的命题怎样否定？
提示:一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”“任意的”等一些全称量词后再进行否定.【即时练】
分别写出下列含有一个量词的命题的否定.
(1)所有的矩形都是正方形.
(2)?x0∈R， x02-2x0+1<0.
【解析】(1)将此命题中的量词“所有的”换为“存在”，然后再否定结论，即原命题的否定为:“存在一个矩形不是正方形.”
(2)此命题是特称命题，其否定为?x∈R，x2-2x+1≥0.【题型示范】
类型一 全称命题的否定与真假判断
【典例1】
(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p:?x∈A，2x∈B，则(　　)
A.?p:?x0∈A，2x0∈B
B.?p:?x0?A，2x0?B
C.?p:?x0∈A，2x0?B
D.?p:?x?A，2x?B(2)写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假.
①p:一切分数都是有理数；
②q:直线l垂直于平面α，则对任意l′?α，l⊥l′；
③s:?x∈Q，使得 x2+ x+1是有理数.【解题探究】1.题(1)的命题p中含有的量词是什么？命题的结
论是什么？
2.题(2)各组命题中的量词是什么？命题的结论是什么？
【探究提示】1.命题p中的量词是“?”，命题的结论是
“2x∈B”.
2.命题p含有的量词是“一切”，结论为“分数都是有理数”.
命题q含有的量词是“任意”，结论为“l⊥l′”.
命题s含有的量词是“?”，结论为“ x2+ x+1是有理数”.【自主解答】(1)选C.根据题意可知命题p:?x∈A，2x∈B的否
定是?p:?x0∈A，2x0?B，故选C.
(2)①?p:存在一个分数不是有理数，假命题.
②?q:直线l垂直于平面α，则?l′0?α，使l与l′0不垂直，假
命题.
③?s:?x0∈Q，使得 + x0+1不是有理数，假命题.【延伸探究】本例(1)中的命题p若换为“?x?A，2x∈B”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】选B.将量词“?”换为“?”，结论否定即可，即其否定为:?x0?A，2x0?B”.【方法技巧】
1.对全称命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
(2)否定性质:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
2.全称命题否定后的真假判断方法
全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可.【变式训练】命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是　(　　)
A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0
C.?x0∈R，|x0|+x02<0 D.?x0∈R，|x0|+x02≥0
【解析】选C.条件?x∈R的否定是?x0∈R，结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+x02<0”.【补偿训练】命题“?x∈R，x>sinx”的否定是(　　)
A.?x0∈R，x0C.?x0∈R，x0≤sinx0 D.?x∈R，x【解析】选C.命题中“?”与“?”相对，所以命题的否定是:?x0∈R，x0≤sinx0，故选C.类型二 特称命题的否定与真假判断
【典例2】
(1)命题p:“?x0∈R， x02-x0+1=0”的否定是　　　　.
(2)写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假:
①有些实数的绝对值是正数；
②某些平行四边形是菱形；
③?x0∈R， x02+1<0；
④?x0，y0∈Z，使得 x0+y0=3.【解题探究】1.题(1)中命题p中含有的量词是什么？命题p的结论是什么？
2.题(2)中各命题中含有的量词是什么？各命题的结论分别是什么？【探究提示】1.命题p中含有的量词是“?”，命题的结论是
“x02-x0+1=0”.
2.命题①，②含有的量词是“有些”，“某些”，其结论分别
为:“实数的绝对值是正数”与“平行四边形是菱形”，命
题③④含有的量词是“?”，其结论分别为:“x02+1<0”与
“ x0+y0=3”.【自主解答】(1)将量词“?”换为“?”，然后否定结论即可.
答案:?x∈R，x2-x+1≠0
(2)①命题的否定是:“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|-2|=2，因此命题的否定为假命题.
②命题的否定是:“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.③命题的否定是:“不存在x0∈R， x02+1<0”，也即“?x∈R，
x2+1≥0”.由于x2+1≥1>0，因此命题的否定是真命题.
④命题的否定是:“?x，y∈Z， x+y≠3”.
因为当x=0，y=3时， x+y=3，
因此命题的否定是假命题.【方法技巧】
1.对特称命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
(2)否定性质:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有” “不存在”等.
2.特称命题否定后的真假判断
特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可.【变式训练】写出下列特称命题的否定，并判断其真假.
(1)存在x0>1，使x02-2x0-3=0.
(2)若an=-2n+1，则存在n0∈N，使 <0.
(3)存在x0∈R，x0>2.
(4)存在x0∈R， x02<0.【解析】(1)任意x>1，x2-2x-3≠0，假命题.
(2)若an=-2n+1，则任意n∈N，Sn≥0，假命题.
(3)任意x∈R有x≤2，假命题.
(4)任意x∈R，x2≥0，真命题.【补偿训练】写出下列特称命题p的否定?p，并判断?p的真假:
(1)p:?x0<0， x02<0.
(2)p:?α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0.
(3)p:有些数列既是等差数列又是等比数列.【解析】(1)?p:?x<0，x2≥0.真命题.
(2)?p:?α，β∈R，cos(α+β)≠cosα+cosβ.
由于当α= ，β= 时，cos(α+β)=cosα+cosβ=
所以?p为假命题.
(3)?p:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列.
由于非零常数列既是等差数列又是等比数列，所以?p为假命题.【易错误区】混淆命题的否定与否命题而致误
【典例】命题“任意x∈R，若y>0，则x2+y>0”的否定是　 .【解析】已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将
“任意”换成“存在”再否定结论，
即命题的否定是:
存在x0∈R，
若y>0，则x02+y≤0.
答案:存在x0∈R，若y>0，则x02+y≤0【常见误区】【防范措施】
命题的否定与否命题
　　命题的否定只否定结论.否命题是条件和结论都要否定，如本例中命题的否定，否定结论没有否定条件.【类题试解】命题p:任意x，y∈R，若x>y，则x2>y2，则命题p的否定为　　　　，否命题为　　　　.
【解析】命题p的否定为:存在x0，y0∈R，若x0>y0，则
否命题为:任意x，y∈R，若x≤y，则x2≤y2.
答案:存在x0，y0∈R，若x0>y0，则
任意x，y∈R，若x≤y，则x2≤y2