2.1.2 求曲线的方程 课件1

课件45张PPT。2.1.2
求曲线的方程1.坐标法和解析几何研究的主要问题
(1)坐标法:借助于_______，通过研究方程的性质间接地来研
究曲线性质的方法.
(2)解析几何研究的主要问题:
①曲线研究方程:根据已知条件，求出_______________.
②方程研究曲线:通过曲线的方程，研究___________.坐标系表示曲线的方程曲线的性质2.求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对______表示曲线上任意
一点M的坐标.
(2)写出适合条件p的点M的集合P=_________.
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程_________.
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式.
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_______.(x，y){M|p(M)}f(x，y)=0曲线上1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样.(　　)
(2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.(　　)
(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.(　　)提示:(1)正确.对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样.
(2)错误.|x|=|y|化简的形式为y=±x.
(3)错误.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求解、化简过程中极易产生增解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确.
答案:(1)√　(2)×　(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程
是　　　　　　.
(2)直角坐标平面xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足
　　　=4，则点P的轨迹方程是　　　　.
(3)已知点O(0，0)，A(1，-2)，动点P满足|PA|=3|PO|，则点P的轨迹方程是　　　　　.【解析】(1)设M(x，y)，由|MO|=2，得
　　　　=2，所以x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
(2)由　　　 =4知，x+2y=4?x+2y-4=0，
所以P点的轨迹方程是x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0(3)设P(x，y)，则|PA|=3|PO|可化为
化简得:8x2+2x+8y2-4y-5=0.
答案:8x2+2x+8y2-4y-5=0【要点探究】
知识点 坐标法与曲线方程的求解
1.平面直角坐标系的选取方法
(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系.
(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系.(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系.
(4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系.2.求曲线方程时应注意的四个问题
(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴.
(2)第二步要仔细分析曲线的特征，注意揭示其隐含的条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出等式，此步骤有时也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示.(3)在第三步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”.
(4)第四步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除.3.对求曲线方程的三点说明
(1)求曲线方程时，坐标系建立的不同，同一曲线方程也不相同.
(2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不设成其他字母.
(3)求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.【知识拓展】轨迹方程与轨迹的辨析【微思考】
(1)曲线(或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形，如何选取坐标系？
提示:若曲线(或轨迹)为轴对称图形，通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴)；若曲线(或轨迹)是中心对称图形，通常以对称中心为原点.(2)求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗？
提示:不一定，若有坐标系，第一步可省略，第二步虽重要，但只要能把条件转化为方程即可，故也可省略.若化简前后方程的解集相同，步骤(5)也可省略，如有特殊情况可以适当说明.
(3)求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？
提示:可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个方面进行检验.【即时练】
在Rt△ABC中，|AB|=2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程.
【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以线段
AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则
A(-a，0)，B(a，0).
设C(x，y)是平面内的任意一点，连接CO，则由
直角三角形的性质知:|OC|=　|AB|=　×2a=a.
因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心，以a为半径的圆(除去与x轴的交点)，其轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).【题型示范】
类型一 直接法求曲线的方程
【典例1】
(1)已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P满足
　　 =0，则点P的轨迹方程为　　　　　.
(2)一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，
求动点的轨迹方程.【解题探究】1.题(1)条件　　　 =0如何转化？
2.题(2)中条件可用式子如何表示？
【探究提示】1.写出向量　　的坐标和向量　　的坐标，转化
为向量的坐标运算.
2.设动点P到直线x=8的距离为d，则条件的几何表示为:d=2|PA|.【自主解答】(1)设P的坐标为P(x，y)，由
=(-2-x，-y)·(2-x，-y)=x2-4+y2=0，
得x2+y2=4，所以点P的轨迹方程为x2+y2=4.
答案:x2+y2=4(2)设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|，
到点A的距离|PA|= 　　　　
由已知d=2|PA|得:
|x-8|=2　　　 化简得:
3x2+4y2=48.
故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.【方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系；
②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤:建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.【变式训练】如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM=　 PN，建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程.【解析】以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示，则O1(-2，0)，O2(2，0).由已知PM=　　PN，得PM 2=2PN 2，
因为圆的半径为1，所以PO12-1=2(PO22-1)，
设P(x，y)，则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，
即(x-6)2+y2=33.
故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.【补偿训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程.
【解析】设动点M的坐标为(x，y)，则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|，|x|.由题意知|y|=2|x|，整理得y=±2x.
所以点M的轨迹方程为y=±2x.类型二 代入法求曲线的方程
【典例2】
(1)已知动点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A(0，-1)与点P连线中点M的轨迹方程是(　　)
A.y=2x2 B.y=8x2
C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1
(2)设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.【解题探究】1.题(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2中点P的坐标是什么？
2.题(2)哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方程，借助什么方法可用这些点表示点P的坐标？【探究提示】1.据中点坐标公式知中点P的坐标为
2.从题目的已知条件可知，点M与点O的坐标已知，点N满足已知
曲线的方程，可借助中点坐标公式，OP的中点坐标与MN的中点
坐标相同表示出点P的坐标.【自主解答】(1)选C.设M点坐标为(x，y)，点P坐标为(x0，y0)，则2x02-y0=0.…①
因为M为AP的中点，所以得
解得 代入①式得
2(2x)2-(2y+1)=0，即2y=8x2-1.(2)如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为 线段MN的中点坐标为
因为平行四边形的对角线互相平分，所以
从而
由N(x+3，y-4)在圆上，得(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点:
和 【延伸探究】若把题(2)中MN的中点记为Q，试求点Q的轨迹方程.
【解题指南】采用代入法求解.
【解析】设Q(x，y)，N(x0，y0)，
所以 则
由N在圆x2+y2=4上运动，
所以(2x+3)2+(2y-4)2=4.
故点Q的轨迹方程为 +(y-2)2=1.【方法技巧】
1.代入法求轨迹方程的适用条件
已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的轨迹方程时，往往用代入法.
2.代入法求曲线方程的四个步骤【变式训练】动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3，0)
连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，所以 即
又因为M在曲线x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1.
所以P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.【补偿训练】已知直线l:2x+4y+3=0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶2两部分，则Q点的轨迹方程是(　　)
A.2x+4y+1=0　　　B.2x+4y+3=0
C.2x+4y+2=0　　　D.x+2y+1=0【解析】选A.设Q点的坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)，
又Q分OP所成的比为 ，即=　
所以(x，y)= (x′-x，y′-y)，
所以 　 得
又P(x′，y′)在2x+4y+3=0上，
所以2×(3x)+4×(3y)+3=0，
即2x+4y+1=0.
故点Q的轨迹方程是2x+4y+1=0.【易错误区】求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑
不全致误
【典例】已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a，c，b成等差数列，a>c>b，|AB|=2，则顶点C的轨迹方程为　　　　.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角
坐标系，如图，则A(-1，0)，B(1，0)，
设C(x，y)，
因为a，c，b成等差数列，
所以a+b=2c，即|AC|+|BC|=2|AB|，
故 =4，
化简整理得:3x2+4y2=12.
由于a＞b，即解不等式得x<0，
又C不能在x轴上②，所以x≠-2，
所以3x2+4y2=12(x<0且x≠-2)是所求的轨迹方程.
答案:3x2+4y2=12(x<0且x≠-2)【常见误区】【防范措施】
重视题目中的隐含条件
　　求轨迹方程时虽能写出方程，但易产生增点或丢点现象，进而求错.所以在求动点的轨迹时，一定要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件.如本例易忽略隐含条件C不在x轴上而致错.另外三角形的三个顶点不共线；直线斜率不存在的情况；点到坐标轴的距离为|y|或|x|也是解题时容易忽视的地方.【类题试解】若△ABC的边AB是定长2a，边BC的中线为定长m，则顶点C的轨迹方程为　　　　　.【解析】取AB的中点为原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，
则A(-a，0)，B(a，0)，设C(x，y)，则边BC的中点D ，由|AD|=m得 =m2.
化简得(x+3a)2+y2=4m2.
又由点C在直线AB上时不能组成三角形，
故y≠0，因此顶点C的轨迹方程是
(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).
答案:(x+3a)2+y2=4m2(y≠0)(答案不惟一)