2.2.2 椭圆的简单几何性质 课件2

课件68张PPT。2.2.2　
椭圆方程及性质的应用 【题型示范】
类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】
(1)若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共
点，则m的取值范围为________．
(2)判断直线l: 和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.【解题探究】1.题(1)中直线y=kx+1是否恒过定点？若恒过定点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭圆有公共点？
2.题(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？
【探究提示】1.恒过定点(0，1)，当点在椭圆上或在椭圆内部时，经过该点的直线与椭圆总有公共点.
2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行判断.【自主解答】(1)方法一:由 消去y，整理得
(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0，
所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
因为直线与椭圆总有公共点，
所以Δ≥0对任意k∈R都成立.
因为m>0，所以5k2≥1-m恒成立，所以1-m≤0，即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0所以1≤m<5.方法二：因为直线y＝kx＋1过定点M(0，1)，
所以要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0，1)必在椭圆内或
椭圆上，由此得 解得1≤m＜5.
答案：[1，5)(2)由 得
即
Δ=
因此直线与椭圆没有公共点.【延伸探究】题(2)条件不变，问椭圆上是否存在一点，它到
直线l的距离最大？最大距离是多少？
【解析】因为直线l与椭圆2x2+3y2=6不相交，设与椭圆相切的
直线m平行于直线l，则直线m的方程为：
由方程组 消去y得:
即 由Δ=0，得 或当 时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，此时
m的方程为
直线m与直线l的距离
所以最大距离为【方法技巧】直线与椭圆位置关系的判断方程【变式训练】已知椭圆C： 一个顶点为A(0，2).
(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方程.
(2)若椭圆C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且
|AM|=|AN|，求m的取值范围.【解析】(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)
的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长
度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C： 得：用①减去②得：
所以 再由垂直平分线的性质得
所以
所以y1+y2=-2，所以x1+x2=-3k(y1+y2)=6k，
故MN的中点(3k，-1)，把y=kx+m代入椭圆C： 得，
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0，
所以x1+x2=6k=
所以m=-(1+3k2)，所以-mx2+6kmx+3m2-12=0，
由题意知，判别式大于0，即36k2m2+4m(3m2-12)>0，
m(m-4)<0，所以0线 有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长.
【解析】设椭圆长轴长为2a(且a＞2)，
则椭圆方程为
由 得因为直线与椭圆只有一个交点，所以Δ=0，即192(a2-4)2-
16(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0，解得a=0(舍去)，a=2(舍去)，
所以长轴长类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程为(　　)
A.3x+2y-12=0 B.2x+3y-12=0
C.4x+9y-144=0 D.9x+4y-144=0(2)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为
①求椭圆C的方程；
②设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两
点，且 求直线l的方程.【解题探究】1.题(1)求弦所在直线的方程，还需确定什么？
如何利用中点这个条件？
2.题(2)求弦长的一般思路是什么？你能得出弦长的公式吗？
【探究提示】1.还需确定直线的斜率，可设出弦的两个端点坐
标，利用中点坐标公式，找它们之间的联系.
2.一般思路是联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x(或y)的
一元二次方程，由根与系数的关系得
故弦长为【自主解答】(1)选B.设弦的两个端点分别为P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，弦所在直线的斜率为k，则 ①，
②.
①-②得：4(x1-x2)(x1+x2)+9(y1-y2)(y1+y2)=0，
又
因此可得：4(x1-x2)×6+9(y1-y2)×4=0，
所以
故弦所在直线方程为
即2x+3y-12=0，选B.(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 或②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y，得5x2+2mx+m2-16=0，
由题意，得Δ=(2m)2-20(m2-16)>0，
且
因为|AB|=
=所以
解得m=±2，
验证知Δ>0成立，
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.【方法技巧】
1.直线与椭圆相交弦的弦长问题
直线与椭圆相交有关弦的问题，主要思路是联立直线和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点:
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标
分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关
系，具体如下： 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆
(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由①-②，得 变形得
即
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，
设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0-x，2y0-y)，
则
两式作差即得所求直线方程.【变式训练】直线y=x+1被椭圆 所截得的弦的中点
坐标是( )
【解析】选C.由 消去y，得3x2+4x-2=0，设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
中点坐标为(x中，y中)，
则x1+x2= 所以x中=
从而y中=x中+1=
所以中点坐标为【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 截得的弦长为
____________.
【解析】由 消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=-2，x1x2=-6.
所以弦长
=
答案：类型三 与椭圆有关的综合问题
【典例3】
(1)椭圆 (a＞b＞0)与直线x+y=1交于P，Q两点，且
OP⊥OQ，其中O为坐标原点，则 =_______.(2)已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 短轴的一个端点到右焦点的距离为 直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B.
①求椭圆的方程；
②若坐标原点O到直线l的距离为 求△AOB面积的最大值.【解题探究】1.题(1)中一般将条件OP⊥OQ转化为什么？
2.题(2)中求△AOB面积的最大值，关键是求什么？
【探究提示】1.条件OP⊥OQ，一般转化为向量 . =0来处
理.
2.关键是求|AB|的最大值.OPOQ【自主解答】(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ? ?x1x2+y1y2=0.
因为y1=1-x1，y2=1-x2，代入上式得：
2x1x2-(x1+x2)+1=0 (*)
又将y=1-x代入 ?(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，因为
Δ＞0，所以x1+x2= x1x2= 代入(*)化简得
答案：2(2)①由 所以 b=1，
所以椭圆的方程为:
②由已知 所以
联立l:y=kx+m和
消去y，整理可得：
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，
所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
所以|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=
=
= (k≠0)，当且仅当 时取等号，
验证知 满足题意，
显然k=0时，|AB|2=3<4.
所以(S△AOB)max=【方法技巧】解椭圆综合问题的常用技巧
椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其他章节知识结合考查，如不等式、三角函数以及平面向量等.解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化的思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.【变式训练】设F1，F2分别是椭圆E: (a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|.
(1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|.
(2)若cos∠AF2B= ，求椭圆E的离心率.【解题指南】(1)利用椭圆的定义求解.
(2)设|BF1|=k，用a，k表示|AF2|，|BF2|，利用余弦定理解△ABF2得出等腰Rt△AF1F2，从而得到a，c的关系式.【解析】(1)由|AF1|=3|BF1|，|AB|=4，
得|AF1|=3，|BF1|=1，
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8，
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|BF1|=k，则k>0，且|AF1|=3k，|AB|=4k，
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k)，
化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0，
故a=3k，于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k，因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2?F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形，
从而c= 【补偿训练】已知椭圆G： (a＞b＞0)的离心率为
右焦点为 斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以
AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3，2).
(1)求椭圆G的方程.
(2)求△PAB的面积.【解析】(1)由已知得
解得 又b2=a2-c2=4，
所以椭圆G的方程为
(2)设直线l的方程为y=x+m，
由 得4x2+6mx+3m2-12=0 ①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，
AB的中点为E(x0，y0)，
则
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率 解得m=2.
此时方程①为4x2+12x=0，
解得x1=-3，x2=0，所以y1=-1，y2=2.所以
此时，点P(-3，2)到直线AB：x-y+2=0的距离
所以△PAB的面积【拓展类型】椭圆中的最值问题
【备选例题】(1)斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B
两点，则|AB|的最大值为_________.
(2)如图，动圆C1:x2+y2=t2，1A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点.①当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
②求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.【解析】(1)方法一：设直线l的方程为y=x+t，
由 消去y得
整理，得5x2+8tx+4(t2-1)=0.
因为Δ=64t2-80(t2-1)>0，所以设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则
所以|AB|=
=
当t=0时，|AB|为最大，即|AB|max=方法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点
时截椭圆所得弦长最长，将y=x代入 得交点坐标为
和 故
答案：(2)①设A(x0，y0)(-3由 得
从而
当 时，Smax=6.
从而t= 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.②由A(x0，y0)，B(x0，-y0)，A1(-3，0)，A2(3，0)知直线AA1的方程为
①
直线A2B的方程为 ②
由①②得 ③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故 ④
将④代入③得 (x<-3，y<0).
因此点M的轨迹方程为 (x<-3，y<0).【方法技巧】解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围. 【规范解答】椭圆与平面向量的综合问题
【典例】(12分)设椭圆 (a>b>0)
的左焦点为F，离心率为 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为
(1)求椭圆的方程.
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与
椭圆交于C，D两点.若 AC·DB+AD·CB=8 求k的值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:解题时，若求不出直线与椭圆交点的纵坐标，即得不出①处，则会导致求不出椭圆方程而本例不得分.
失分点2:若在②处化简整理结果时错误，则会导致下面运算全部错误，本例最多能得6分.
失分点3:若在③处向量的运算不能转化为坐标间关系，则得不出关于k的等量关系而失3～4分.【悟题】提措施，导方向
1.加强运算能力的培养
椭圆的综合问题，一般涉及的运算量较大，因此在平时学习中，要多注重运算能力的培养，防止因运算错误而失分，如本例(1)(2)问求解时，都涉及较大的运算量.2.向量关系的应用
在解析几何中，向量的运算常通过坐标的运算来实现，对向量
相等、向量的数量积、共线向量的坐标表示要熟练掌握，如本
例 是建立关于k的方程的关键.【类题试解】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
(1)求椭圆C的方程.
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为 的任意两点，E为线
段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设 ，求实数t的值.【解析】(1)设椭圆C的方程为 (a>b>0)，
由题意知 解得 因此椭圆C的方程为(2)当AB⊥x轴时，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
由 得 或
由 =t(x0，0)=(tx0，0)，得P(tx0，0)，
又P在椭圆上，所以 所以 或
所以t=2或 (舍去负值).当AB不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，显然m≠0，代入椭圆方
程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2－1)=0. (*)
由三角形面积公式知， |xAyB－xByA|= |xA(kxB+m)－
xB(kxA+m)|= |m||xA－xB|=
所以，|xA－xB|= ?(xA+xB)2－4xAxB=
即整理得， ①
又 所以，
即
将其代入椭圆方程得 整理可得，
1+2k2=m2t2， ②联立①②，消去1+2k2，约分掉m2，移项整理得，3t4－16t2+16=0，
解之可得，t2=4或 均能使(*)式的Δ>0，所以t=2或 (舍去负值).
综上，t=2或