2.3.2 双曲线的简单几何性质 课件2

课件49张PPT。2.3.2 　
双曲线方程及性质的应用 【题型示范】
类型一 直线与双曲线的位置关系
【典例1】
(1)双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直
线：①5x-3y=0；②x-y-4=0；③5x-3y-52=0；④4x-3y+15=0.如果
上述直线上存在点P，使|PF2|=|PF1|+6，则满足这样条件的直
线对应的序号是___________.(2)已知双曲线C: (a>0，b>0)
的离心率为 且过点
①求双曲线C的方程；
②若直线l1: 与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，
求k的取值范围.【解题探究】1.题(1)满足条件|PF2|-|PF1|=2a(2a<|F1F2|)的点P的轨迹是什么？
2.题(2)直线l1与双曲线C有两个公共点应满足什么条件？
【探究提示】1.满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.【自主解答】(1)由 所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
左支有公共点.
由已知双曲线的渐近线方程为
对于①③两直线的斜率均为 故①③均与双曲线左支无公
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点.
答案：②④(2)①由 可得 所以a2=3b2，故双曲线方程可化为
将点 代入双曲线C的方程，可解得b2=1.
所以双曲线C的方程为②联立直线与双曲线方程
?
由题意得
解得-1所以k的取值范围为【延伸探究】题(2)中若直线l1与双曲线C有且只有一个公共点，k的取值范围如何？
【解析】联立直线与双曲线方程
消去y得：当1-3k2=0，即 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当
由Δ=0，即36-36k2=0，所以k=±1时，直线l1与双曲线C只有一
个公共点.
所以当 或k=±1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点.【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点.
(2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点.
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.【变式训练】已知双曲线 =1
(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10，双曲线的
一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为　(　　)【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上，
易知直线l过双曲线左焦点，
所以0=-2c+10，即c=5，
又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10，
故有 =2，
结合c2=a2+b2，得a2=5，b2=20，
所以双曲线的标准方程为 =1.【补偿训练】若直线y=kx+1与双曲线x2-y2=4有两个相异公共
点，求k的取值范围.
【解析】将y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4，化简得：
(1-k2)x2-2kx-5=0.①
要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则①有两个不相等的
实根，应满足 得 且k≠±1.
故k的取值范围是类型二 直线与双曲线相交弦问题
【典例2】
(1)直线l与双曲线 的同一支
相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜
率为__________.
(2)已知点 和点 动点C到A，B两点的距离之
差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D，E两点，求线
段DE的长.【解题探究】1.题(1)如何表示线段AB的中点坐标？
2.题(2)若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)，你能把弦|AB|的长表示出来吗？
【探究提示】1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐
标为
2.|AB|=【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由 消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
则y1+y2=k(x1+x2)+2b=因为线段AB的中点在直线y=2x上，
所以有
得 满足①式.
当直线l的斜率不存在时，不符合题意.
答案：(2)设点C(x，y)，则|CA|-|CB|=±2，根据双曲线的定义，可知点
C的轨迹是双曲线
由2a=2，2c=|AB|= 得a2=1，b2=2，
故点C的轨迹方程是由 消去y并整理得x2+4x-6=0，
因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1+x2=-4，x1·x2=-6，
故|DE|=
=【方法技巧】求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点
坐标，再利用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公
式求解，即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C： (a>0，
b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|=
提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况.【变式训练】已知双曲线 过点P(1，1)能否作一条
直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
【解析】设所求直线方程为y=k(x-1)+1，
由
得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0.因为l与双曲线相交于A，B两点，
所以Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0
得
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，有x1+x2=
若点P是线段AB的中点，则有x1+x2=2，即 解得
k=2(舍)，所以这样的直线不存在.【补偿训练】斜率为2的直线l与双曲线C: 交于A，B
两点，且|AB|=4，求直线l的方程.
【解析】设直线l的方程为y=2x+m，将y=2x+m代入双曲线C的方
程2x2-3y2-6=0得10x2+12mx+3m2+6=0(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得 ①又|AB|=
=
所以5[(x1+x2)2-4x1x2]=16 ②
将①式代入②，解得
所以直线l的方程为类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
则该双曲线的离心率的取值范围是_______.(2)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1.
①过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
②设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ.【解题探究】1.题(1)条件 如何转化？
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 转化为边之间
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为 即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则 ，得x1x2+y1y2=0.【自主解答】(1)在△PF1F2中由正弦定理得：
即
所以由双曲线定义知：|PF1|-|PF2|=2a，
则 |PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c-a，
则 >c-a，即c2-2ac-a2<0，所以e2-2e-1<0，
解得
又e∈(1，+∞)，故双曲线的离心率
答案：(2)①双曲线C1： 左顶点 渐近线方程：
过点A与渐近线 平行的直线方程为
即
解方程组 得
所求三角形的面积为②设直线l的方程是y=x+b.
因直线与已知圆相切，
故 即b2=2.
由 得x2-2bx-b2-1=0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
又y1y2=(x1+b)(x2+b)，所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-b2-1)+b·2b+b2=b2-2=0，故OP⊥OQ.【方法技巧】与双曲线有关的综合问题
双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.【变式训练】已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双
曲线右支上的任意一点，若 的最小值为8a，则双曲线的
离心率e的取值范围是( )【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a，
当且仅当 时等号成立.
此时|PF2|=2a，|PF1|=4a，
因为|PF1|+|PF2|≥2c.
所以6a≥2c，即10，b>0)，离心
率 顶点到渐近线的距离为
(1)求双曲线C的方程.
(2)如图P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线
上，且分别位于第一，二象限，若 ，求△AOB的面积. 【解析】(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)，到渐近线ax-
by=0的距离为
所以 所以
由 得
所以曲线C的方程是(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x，
设A(m，2m)，B(-n，2n)，(m>0，n>0)，
由 ， 得P点坐标为
将P点坐标代入 化简得mn=
设∠AOB=2θ，则
又
所以【规范解答】与双曲线有关的综合问题
【典例】(12分)已知双曲线C:
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
3，直线y=2与C的两个交点间的距离为
(1)求a，b.
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且
|AF1|=|BF1|.求直线l的方程.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:解题时若在①处建立不出关于a的等式，求不出a，则会导致下面无法求解，本例最多得2分.
失分点2:若在②处代入消元，得出错误的一元二次方程，致使下面的求解错误，本例最多得5分.
失分点3:若在③处无法表示出x1+x2的具体值，而含有参数k，导致后面求线段长时也含有字母k，而无法判断其关系，本例最多得10分.【悟题】提措施，导方向
1.注重基础知识的掌握
直线与双曲线的位置关系是一种重要关系，而涉及相交弦的问题是常见类型，其解决方法一般利用代数法.如本例第(2)问消元后，由根与系数的关系，借助于|AF1|=|BF1|求k的值是本题解题的关键.2.重视知识间的联系
双曲线的综合问题，常常是双曲线与向量、不等式、数列等知识的结合，平时训练时要注意对这些知识结合点的考查，如本例便是双曲线与方程知识的结合.【类题试解】P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E: (a>0，
b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜
率之积为
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O
为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 求λ的值.【解析】(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线 上，有
由题意又有 可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，则
(2)联立 得4x2-10cx+35b2=0，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 (*)设 即 又C为双曲线上
一点，即x32-5y32=5b2，
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2，化简得：λ2(x12-5y12)+(x22-
5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2(Ⅰ)
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x12-5y12=5b2，x22-5y22
=5b2.
由(*)式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-
5c2=10b2.(Ⅱ)
由(Ⅰ)(Ⅱ)得：λ2+4λ=0，解出λ=0，或λ=-4.