2.4.2 圆锥曲线与方程 课件1
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆锥曲线与方程 课件1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-14 17:45:41 | ||
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文档简介
课件68张PPT。2.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0xyO(0，0)11.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是中心对称图形.( )
(2)抛物线的范围是x∈R.( )
(3)抛物线是轴对称图形.( )【解析】(1)错误.在抛物线方程中，以-x代x，-y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形，故此说法错误.
(2)错误.抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2=2px(p>0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误.
(3)正确.抛物线y2=±2px(p>0)的对称轴为x轴，抛物线x2=±2py(p>0)的对称轴为y轴，故此说法正确.
答案:(1)× (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过(4，1)的抛物线方程是 .
(2)已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5，则p= .
(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为 .【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为x2=ay，将点(4，1)代入，得a=16，故方程为x2=16y.
答案:x2=16y(2)y2=2px(p＞0)的焦点为 由题意得
解得p=4或p=-12(舍去).
答案：4
(3)由y=2px2(p>0)，得
故对称轴为y轴.
答案：y轴【要点探究】
知识点 抛物线的简单几何性质
1.抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系2.抛物线的图象具有的特征
抛物线是轴对称图形，其对称轴为x轴或y轴，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，并且离心率为1.3.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较【知识拓展】抛物线的通径【微思考】
(1)影响抛物线开口大小的量是什么，是如何影响的？
提示：参数p影响抛物线开口大小，p值越大，抛物线的开口越开阔，p越小，开口越扁狭.(2)点P(x0，y0)与抛物线y2=2px(p＞0)的关系有哪些？分别满足什么条件？
提示：①点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p＞0)内部?y02＜2px0；
②点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p＞0)上?y02=2px0；
③点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p＞0)外部?y02＞2px0.【即时练】
已知抛物线y2=6x，判断下列点与该抛物线的关系.
(1)P1(1， ).(2)P2(2，3).(3)P3(1，3).
【解析】将点的坐标分别代入抛物线y2=6x的方程，可知P1在
抛物线上，P2在抛物线内部，P3在抛物线外部.【题型示范】
类型一 焦半径和焦点弦问题
【典例1】
(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=6，那么|AB|等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4(2)已知抛物线y2=2px(p>0)，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A.20 B.25 C.30 D.50【解题探究】1.题(1)过焦点的弦问题一般如何处理？
2.题(2)中焦点到准线的距离等于多少？
【探究提示】1.过焦点的弦问题一般可转化为焦半径问题求解.
2.焦点到准线的距离等于p.【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=4x，得p=2，
设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|+|FB|=
=x1+x2+p=6+2=8.
(2)选B.因为直线l过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且与x轴垂直，
并且交抛物线于A，B两点，则|AB|=2p=10，所以p=5，故抛物
线的方程为y2=10x，P为抛物线的准线上一点.P到直线AB的距
离为p=5，则△ABP的面积为 ×10×5=25.【方法技巧】
1.抛物线的焦半径
(1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为
端点的线段.
(2)抛物线的焦半径公式：P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.
①若抛物线y2=2px(p＞0)，则|PF|=
②若抛物线y2=-2px(p＞0)，则|PF|=
③若抛物线x2=2py(p＞0)，则|PF|=
④若抛物线x2=-2py(p＞0)，则|PF|=2.过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)， B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1+x2即可.【变式训练】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
【解题指南】联立方程组，由过焦点的弦长公式表示出弦长，解方程求出参数值，从而得出抛物线的标准方程.【解析】若抛物线开口向右，
如图.
设抛物线的方程为y2=2px(p＞0)，
则直线方程为设直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=
即x1+x2+p=8. ①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由 消去y，得
所以x1+x2=3p.将其代入①，得p=2.
所以所求抛物线的方程为y2=4x.
当抛物线的开口向左时，同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.
综上，抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x. 【补偿训练】AB是过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的一条弦，且
|AF|=1，|BF|= 求抛物线及直线AB的方程.
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|= 得sin2θ= 从而利用特殊角的三角函
数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出直线AB的方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|= |BF|=
则|AF|+|BF|=x1+x2+p=
所以x1+x2=
因为|AF|≠|BF|，
所以过焦点 的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程
为又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
所以x1·x2=
由|AF|·|BF|=
得
即 所以
抛物线方程为y2=x.设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得|AB|2=(y2-y1)2+(x2-x1)2=(tan2θ+
1)(x2-x1)2，
由于直线AB过点
设直线AB的方程为 与抛物线方程联立得到：tan2θx2-(tan2θ+2)px+ p2tan2θ=0，
那么(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2
==4p2(tan2θ+1)×
那么|AB|2=(tan2θ+1)(x2-x1)2
=(tan2θ+1)×4p2(tan2θ+1)×所以|AB|=
由|AB|= 得
所以
所以θ=60°或120°，得
所以直线AB的方程为类型二 抛物线性质的应用
【典例2】
(1)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 .
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个三角形的边长.【解题探究】1.题(1)由题设条件，要求△AKF的面积，只需求出什么？
2.题(2)三角形的另两个顶点应满足什么关系？
【探究提示】1.根据题设条件，要求△AKF的面积，只需求出点A的坐标即可.
2.根据抛物线的对称性及三角形为正三角形，故A，B两点应关于x轴对称.【自主解答】(1)如图，
设A(x0，y0)，
过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|=x0-1，
由∠AFO=120°得∠AFH=60°，
故所以点A的坐标为
将此代入抛物线方程可得3x02-10x0+3=0，
解得x0=3或x0= (舍)，故S△AKF=
答案：(2)如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y12=2px1，y22=2px2.
又因为|OA|=|OB|，
所以x12+y12=x22+y22，
即x12-x22+2px1-2px2=0.
所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1+x2+2p≠0.所以x1=x2.即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx=30°，
所以AB⊥x轴，所以y1=x1tan 30°=
又因为x1= 所以y1=
而|AB|=2y1= 即为所求边长.【延伸探究】题(2)中若△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，判断直线AB是否恒过定点？
【解析】直线AB恒过定点(2p，0).设
由OA⊥OB，故kOA·kOB=-1，得：
即y1·y2=-4p2.所以直线AB的方程为
即
=
将y1·y2=-4p2代入上式得
故直线AB恒过定点(2p，0).【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.【变式训练】已知直线l过坐标原点，
抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半
轴上.若点A(-1，0)和点B(0，8)关于
l的对称点都在C上，求直线l和抛物线
C的方程.【解题指南】先设出抛物线的标准方程和直线l的方程，根据A′，B′分别是A，B关于l的对称点，进而可知A′A⊥l，进而可得直线A′A的方程，把两直线方程联立求得交点M的坐标，进而根据M为AA′的中点，求得A′点的坐标和B′点的坐标，分别代入抛物线方程求得p的表达式，最后联立求得k，进而求得p，则直线和抛物线的方程可得.【解析】依题设抛物线C的方程可写为
y2=2px(p＞0)，
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，
因而可设l的方程为y=kx(k≠0)，①
设A′，B′分别是A，B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线
A′A的方程为 ②
由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为又M为AA′的中点，从而点A′的横坐标为
纵坐标为
同理得点B′的横、纵坐标分别为又A′，B′均在抛物线y2=2px(p＞0)上，
由③得
由此知k≠±1，即
同理由④得 即
从而 整理得k2-k-1=0，
解得但当 时，由③知
这与点A′在抛物线y2=2px(p＞0)上矛盾，故舍去
所以 则直线l的方程为
将 代入 ⑤求得
所以直线方程为 抛物线方程为【补偿训练】已知A，B是抛物线y2=2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.【解析】如图所示.设A(x0，y0)，
由题意可知B(x0，-y0)，
又 是△AOB的垂心，
则AF⊥OB，所以kAF·kOB=-1，
即 所以y02=
又y02=2px0，所以
因此直线AB的方程为类型三 抛物线中的定值与最值问题
【典例3】
(1)已知抛物线y2=2px(p＞0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于( )
A.4 B.-4 C.p2 D.-p2
(2)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐
标是( )
A.( ，1) B.(0，0) C.(1，2) D.(1，4)【解题探究】1.题(1)x1·x2可否用y1y2表示？
2.题(2)中抛物线的方程是否是标准方程，抛物线上的任意一点到直线y=4x-5的距离如何表示？【探究提示】1.能.由A，B在抛物线上，故
所以
2.已知的方程不是标准形式，可化为 可设抛物线上的
一点为(x，4x2)，则其到直线的距离为【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=2px(p＞0)，得焦点坐标为
设过焦点的弦AB所在直线方程为
由 消去x得：y2-2pmy-p2=0，
所以y1·y2=-p2.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，故
所以(2)选A.方法一：设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，其中x∈R，
由点到直线的距离公式得
所以当 时，d最小.这时点的坐标为方法二：设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m，
由 得4x2-4x-m=0.
再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1.
这时切点为 切点 到y=4x-5的距离最小.【方法技巧】抛物线中最值的求解策略
(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.【变式训练】过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F的直线交抛物线于
P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则 等于( )【解析】选C.抛物线y=ax2的标准形式为
所以焦点 取特殊情形，
即直线PQ平行于x轴，则p=q.
如图所示，由于|PF|=|PM|，
所以 故【补偿训练】已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线
y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )【解析】选A.直线l2:x=-1为抛物线
y2=4x的准线，由抛物线的定义知，
P到l2的距离等于P到抛物线的焦点
F(1，0)的距离，故本题转化为在抛
物线y2=4x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之
和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x-3y+6=0的距离，即dmin
= 故选择A.【规范解答】抛物线的性质在求最值中的应用
【典例】(12分)已知抛物线x2=4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12，6)，求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:若在①处求错焦点坐标，导致结果出错，则本例将不得分.
失分点2:若②处不明白题意，不能充分利用抛物线的定义对距离进行转化，则会使得下一步无法解答，最多得4分.
失分点3:若不能将到x轴距离转化为到焦点距离，③处则无法利用图形判断A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取最小值，最多得8分.【悟题】提措施，导方向
1.定义的应用意识
涉及抛物线上点到准线的距离问题，一般考虑用点到焦点的距离进行转化，如本例中P到x轴的距离可转化为|PF|=y+1进行求解.
2.条件的合理运用
对题目给出的问题要认真分析，合理转化，如本例中求最值问题可从平面几何知识入手，利用几何意义寻找取最小值的条件.【类题试解】若抛物线C:y2=x上一点P到A(3，-1)的距离与到焦点F的距离之和最小，求点P的坐标.【解析】因为点A(3，-1)在抛物线内部，
如图所示，
设抛物线的准线为l，过抛物线上一点P，
作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.
|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AB|，
故当且仅当P，A，B共线时，|PF|+|PA|的值最小.
此时P点坐标为(x0，-1)，代入y2=x，得x0=1.
故点P的坐标为(1，-1).
(1)抛物线是中心对称图形.( )
(2)抛物线的范围是x∈R.( )
(3)抛物线是轴对称图形.( )【解析】(1)错误.在抛物线方程中，以-x代x，-y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形，故此说法错误.
(2)错误.抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2=2px(p>0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误.
(3)正确.抛物线y2=±2px(p>0)的对称轴为x轴，抛物线x2=±2py(p>0)的对称轴为y轴，故此说法正确.
答案:(1)× (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过(4，1)的抛物线方程是 .
(2)已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5，则p= .
(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为 .【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为x2=ay，将点(4，1)代入，得a=16，故方程为x2=16y.
答案:x2=16y(2)y2=2px(p＞0)的焦点为 由题意得
解得p=4或p=-12(舍去).
答案：4
(3)由y=2px2(p>0)，得
故对称轴为y轴.
答案：y轴【要点探究】
知识点 抛物线的简单几何性质
1.抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系2.抛物线的图象具有的特征
抛物线是轴对称图形，其对称轴为x轴或y轴，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，并且离心率为1.3.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较【知识拓展】抛物线的通径【微思考】
(1)影响抛物线开口大小的量是什么，是如何影响的？
提示：参数p影响抛物线开口大小，p值越大，抛物线的开口越开阔，p越小，开口越扁狭.(2)点P(x0，y0)与抛物线y2=2px(p＞0)的关系有哪些？分别满足什么条件？
提示：①点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p＞0)内部?y02＜2px0；
②点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p＞0)上?y02=2px0；
③点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p＞0)外部?y02＞2px0.【即时练】
已知抛物线y2=6x，判断下列点与该抛物线的关系.
(1)P1(1， ).(2)P2(2，3).(3)P3(1，3).
【解析】将点的坐标分别代入抛物线y2=6x的方程，可知P1在
抛物线上，P2在抛物线内部，P3在抛物线外部.【题型示范】
类型一 焦半径和焦点弦问题
【典例1】
(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=6，那么|AB|等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4(2)已知抛物线y2=2px(p>0)，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A.20 B.25 C.30 D.50【解题探究】1.题(1)过焦点的弦问题一般如何处理？
2.题(2)中焦点到准线的距离等于多少？
【探究提示】1.过焦点的弦问题一般可转化为焦半径问题求解.
2.焦点到准线的距离等于p.【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=4x，得p=2，
设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|+|FB|=
=x1+x2+p=6+2=8.
(2)选B.因为直线l过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且与x轴垂直，
并且交抛物线于A，B两点，则|AB|=2p=10，所以p=5，故抛物
线的方程为y2=10x，P为抛物线的准线上一点.P到直线AB的距
离为p=5，则△ABP的面积为 ×10×5=25.【方法技巧】
1.抛物线的焦半径
(1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为
端点的线段.
(2)抛物线的焦半径公式：P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.
①若抛物线y2=2px(p＞0)，则|PF|=
②若抛物线y2=-2px(p＞0)，则|PF|=
③若抛物线x2=2py(p＞0)，则|PF|=
④若抛物线x2=-2py(p＞0)，则|PF|=2.过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)， B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1+x2即可.【变式训练】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
【解题指南】联立方程组，由过焦点的弦长公式表示出弦长，解方程求出参数值，从而得出抛物线的标准方程.【解析】若抛物线开口向右，
如图.
设抛物线的方程为y2=2px(p＞0)，
则直线方程为设直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=
即x1+x2+p=8. ①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由 消去y，得
所以x1+x2=3p.将其代入①，得p=2.
所以所求抛物线的方程为y2=4x.
当抛物线的开口向左时，同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.
综上，抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x. 【补偿训练】AB是过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的一条弦，且
|AF|=1，|BF|= 求抛物线及直线AB的方程.
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|= 得sin2θ= 从而利用特殊角的三角函
数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出直线AB的方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|= |BF|=
则|AF|+|BF|=x1+x2+p=
所以x1+x2=
因为|AF|≠|BF|，
所以过焦点 的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程
为又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
所以x1·x2=
由|AF|·|BF|=
得
即 所以
抛物线方程为y2=x.设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得|AB|2=(y2-y1)2+(x2-x1)2=(tan2θ+
1)(x2-x1)2，
由于直线AB过点
设直线AB的方程为 与抛物线方程联立得到：tan2θx2-(tan2θ+2)px+ p2tan2θ=0，
那么(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2
==4p2(tan2θ+1)×
那么|AB|2=(tan2θ+1)(x2-x1)2
=(tan2θ+1)×4p2(tan2θ+1)×所以|AB|=
由|AB|= 得
所以
所以θ=60°或120°，得
所以直线AB的方程为类型二 抛物线性质的应用
【典例2】
(1)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 .
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个三角形的边长.【解题探究】1.题(1)由题设条件，要求△AKF的面积，只需求出什么？
2.题(2)三角形的另两个顶点应满足什么关系？
【探究提示】1.根据题设条件，要求△AKF的面积，只需求出点A的坐标即可.
2.根据抛物线的对称性及三角形为正三角形，故A，B两点应关于x轴对称.【自主解答】(1)如图，
设A(x0，y0)，
过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|=x0-1，
由∠AFO=120°得∠AFH=60°，
故所以点A的坐标为
将此代入抛物线方程可得3x02-10x0+3=0，
解得x0=3或x0= (舍)，故S△AKF=
答案：(2)如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y12=2px1，y22=2px2.
又因为|OA|=|OB|，
所以x12+y12=x22+y22，
即x12-x22+2px1-2px2=0.
所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1+x2+2p≠0.所以x1=x2.即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx=30°，
所以AB⊥x轴，所以y1=x1tan 30°=
又因为x1= 所以y1=
而|AB|=2y1= 即为所求边长.【延伸探究】题(2)中若△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，判断直线AB是否恒过定点？
【解析】直线AB恒过定点(2p，0).设
由OA⊥OB，故kOA·kOB=-1，得：
即y1·y2=-4p2.所以直线AB的方程为
即
=
将y1·y2=-4p2代入上式得
故直线AB恒过定点(2p，0).【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.【变式训练】已知直线l过坐标原点，
抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半
轴上.若点A(-1，0)和点B(0，8)关于
l的对称点都在C上，求直线l和抛物线
C的方程.【解题指南】先设出抛物线的标准方程和直线l的方程，根据A′，B′分别是A，B关于l的对称点，进而可知A′A⊥l，进而可得直线A′A的方程，把两直线方程联立求得交点M的坐标，进而根据M为AA′的中点，求得A′点的坐标和B′点的坐标，分别代入抛物线方程求得p的表达式，最后联立求得k，进而求得p，则直线和抛物线的方程可得.【解析】依题设抛物线C的方程可写为
y2=2px(p＞0)，
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，
因而可设l的方程为y=kx(k≠0)，①
设A′，B′分别是A，B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线
A′A的方程为 ②
由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为又M为AA′的中点，从而点A′的横坐标为
纵坐标为
同理得点B′的横、纵坐标分别为又A′，B′均在抛物线y2=2px(p＞0)上，
由③得
由此知k≠±1，即
同理由④得 即
从而 整理得k2-k-1=0，
解得但当 时，由③知
这与点A′在抛物线y2=2px(p＞0)上矛盾，故舍去
所以 则直线l的方程为
将 代入 ⑤求得
所以直线方程为 抛物线方程为【补偿训练】已知A，B是抛物线y2=2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.【解析】如图所示.设A(x0，y0)，
由题意可知B(x0，-y0)，
又 是△AOB的垂心，
则AF⊥OB，所以kAF·kOB=-1，
即 所以y02=
又y02=2px0，所以
因此直线AB的方程为类型三 抛物线中的定值与最值问题
【典例3】
(1)已知抛物线y2=2px(p＞0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于( )
A.4 B.-4 C.p2 D.-p2
(2)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐
标是( )
A.( ，1) B.(0，0) C.(1，2) D.(1，4)【解题探究】1.题(1)x1·x2可否用y1y2表示？
2.题(2)中抛物线的方程是否是标准方程，抛物线上的任意一点到直线y=4x-5的距离如何表示？【探究提示】1.能.由A，B在抛物线上，故
所以
2.已知的方程不是标准形式，可化为 可设抛物线上的
一点为(x，4x2)，则其到直线的距离为【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=2px(p＞0)，得焦点坐标为
设过焦点的弦AB所在直线方程为
由 消去x得：y2-2pmy-p2=0，
所以y1·y2=-p2.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，故
所以(2)选A.方法一：设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，其中x∈R，
由点到直线的距离公式得
所以当 时，d最小.这时点的坐标为方法二：设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m，
由 得4x2-4x-m=0.
再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1.
这时切点为 切点 到y=4x-5的距离最小.【方法技巧】抛物线中最值的求解策略
(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.【变式训练】过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F的直线交抛物线于
P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则 等于( )【解析】选C.抛物线y=ax2的标准形式为
所以焦点 取特殊情形，
即直线PQ平行于x轴，则p=q.
如图所示，由于|PF|=|PM|，
所以 故【补偿训练】已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线
y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )【解析】选A.直线l2:x=-1为抛物线
y2=4x的准线，由抛物线的定义知，
P到l2的距离等于P到抛物线的焦点
F(1，0)的距离，故本题转化为在抛
物线y2=4x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之
和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x-3y+6=0的距离，即dmin
= 故选择A.【规范解答】抛物线的性质在求最值中的应用
【典例】(12分)已知抛物线x2=4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12，6)，求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升
失分点1:若在①处求错焦点坐标，导致结果出错，则本例将不得分.
失分点2:若②处不明白题意，不能充分利用抛物线的定义对距离进行转化，则会使得下一步无法解答，最多得4分.
失分点3:若不能将到x轴距离转化为到焦点距离，③处则无法利用图形判断A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取最小值，最多得8分.【悟题】提措施，导方向
1.定义的应用意识
涉及抛物线上点到准线的距离问题，一般考虑用点到焦点的距离进行转化，如本例中P到x轴的距离可转化为|PF|=y+1进行求解.
2.条件的合理运用
对题目给出的问题要认真分析，合理转化，如本例中求最值问题可从平面几何知识入手，利用几何意义寻找取最小值的条件.【类题试解】若抛物线C:y2=x上一点P到A(3，-1)的距离与到焦点F的距离之和最小，求点P的坐标.【解析】因为点A(3，-1)在抛物线内部，
如图所示，
设抛物线的准线为l，过抛物线上一点P，
作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.
|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AB|，
故当且仅当P，A，B共线时，|PF|+|PA|的值最小.
此时P点坐标为(x0，-1)，代入y2=x，得x0=1.
故点P的坐标为(1，-1).